[논문 리뷰] On the Arithmetic Dynamics of Monomial Maps

Jan-Li Lin|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Silverman의 산술다이나믹스에 대한 추측—높이 성장, Mordell-Lang, Manin-Mumford—을 일반적인 토릭 다양체 위의 단항 맵으로 확장한다. 궤도-포일 대응과 특성다항식에 의한 동적 차수 분석을 통해, 산술차수는 대수적 정수이며 유한 개임을 증명하고, 몫 맵을 통한 토리로의 환원을 통해 전기점들을 특성화한다.

ABSTRACT

We generalized several results for the arithmetic dynamics of monomial maps, including Silverman's conjectures on height growth, dynamical Mordell-Lang conjecture, and dynamical Manin-Mumford conjecture. These results are originally known for monomial maps on algebraic tori. We extend the results to arbitrary toric varieties.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 토릭 다양체 위의 단항 맵으로 Silverman의 높이 성장, 동적 Mordell-Lang, Manin-Mumford 추측을 확장한다.
• $\mathbb{G}_m^n$ 위의 결과를 $\mathbb{G}_m^n$을 밀도 열린 부분집합으로 포함하는 임의의 토릭 다양체로 일반화한다.
• 몫 구조를 이용하여 토릭 다양체 위의 단항 맵에 대한 전기점 집합을 특성화한다.
• 산술차수가 대수적 정수이며, 유한한 집합을 이룬다는 것을 증명하고, 특성다항식의 기약 인수의 스펙트럴 반경에 의해 결정됨을 보인다.
• 한 점이 부분다양체로 들어가는 반복의 집합이 산술등차수열의 유한한 합집합임을 증명하여, 동적 Mordell-Lang 추측을 토릭 다양체 위의 단항 맵으로 확장한다.

제안 방법

• 토릭 기하학의 궤도-포일 대응을 사용하여 도메인을 $\mathbb{T}$-궤도로 분해하고 각 궤도에서의 다이나믹스를 분석한다.
• 정수 행렬 $A$를 통해 단항 맵을 정의하고, $\varphi_A$가 $\mathbb{G}_m^n$에서 임의의 토릭 다양체 $X(\Delta)$로 확장됨을 정의한다.
• Weil 높이 기계를 사용하여 산술차수 $\alpha_\varphi(P)$를 계산하고, $A$의 특성다항식의 스펙트럴 분석을 통해 극한이 존재함을 보인다.
• 산술차수를 특성다항식 $\det(A - tI)$의 기약 인수 $f_i(t)$의 스펙트럴 반경 $\rho(f_i)$와 연관지어, $\alpha_\varphi(P) \in \{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$임을 증명한다.
• 몫 맵 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$을 사용하여 전기점 문제를 Laurent의 토르션점 정리로 환원한다.
• Laurent의 토르션점 정리를 이용하여, 아핀부분군의 토르션 이동으로서의 부분다양체를 특성화함으로써, 조화다양체가 조화다양체에서 전기점의 조화다양체 밀도를 가지는지 여부를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토릭 다양체에서 잘 정의된 전방 궤도를 가진 모든 $P$에 대해 산술차수 $\alpha_\varphi(P)$가 존재하고, 그것이 대수적 정수인가?
• RQ2 토릭 다양체 위의 단항 맵에 대해, 산술차수의 집합 $\{\alpha_\varphi(P) \mid P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})\}$이 유한한가?
• RQ3 프로젝티브 토릭 다양체 위의 단항 맵에 대해 동적 Mordell-Lang 추측이 성립하는가? 즉, $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$의 집합이 산술등차수열의 유한한 합집합인가?
• RQ4 어떤 기약 부분다양체 $Y \subset X$ 가 단항 맵 $\varphi$에 의해 조화다양체에서 전기점의 조화다양체 밀도를 가지는가?
• RQ5 토릭 다양체 위의 단항 맵에 대해, 몫 토리로 환원하고 Laurent의 정리를 적용함으로써 동적 Manin-Mumford 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})$에 대해 산술차수 $\alpha_\varphi(P)$가 존재하며, 값은 유한한 집합 $\{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$에 속한다. 여기서 $f_i$는 정의 행렬 $A$의 특성다항식의 모닉 기약 인수이다.
• 산술차수의 집합은 유한하며, 1과 $\det(A - tI)$의 기약 인수의 스펙트럴 반경으로 이루어져 있으며, 이는 Silverman의 추측의 (1), (2), (3)항목이 토릭 설정에서 성립함을 증명한다.
• 토릭 다양체 위의 단항 맵에 대해 동적 Mordell-Lang 추측이 성립한다: 임의의 닫힌 부분다양체 $Y \subset X$에 대해 $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$는 산술등차수열의 유한한 합집합이다.
• 단항 맵 $\varphi$의 전기점이 닫힌 기약 부분다양체 $Y \subset X_{\varphi}$에서 조화다양체 밀도를 가진다는 것은, $Y \cap O_\sigma$의 몫 맵 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma$에 의한 상이 몫 토리의 대수적 부분군의 토르션 이동임과 동치이다.
• 토릭 다양체 위의 단항 맵 $\varphi$에 대해, 전기점의 집합은 $\bigsqcup G_\sigma^{\mathrm{div}}$로 분해되며, 여기서 $G_\sigma$는 $\mathbb{T}$-궤도 $O_\sigma$의 연결 대수적 부분군이다.
• 조화다양체 밀도를 가진 부분다양체의 특성화는 Laurent의 정리로 환원된다: 이러한 부분다양체는 몫 토리 $O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$에서의 토르션 이동과 대응된다.