[논문 리뷰] On the asymptotic approximation to the probability distribution of extremal precipitation

V. Yu. Korolev, Andrey Gorshenin|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 31.

Hydrology and Drought Analysis참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 습기 기간 내 최대 일강우량의 분포에 대한 渐近적 근사법을 제안하며, 습기 지속 기간을 형상 매개수 <1인 음이항분포로 모델링한다. 극한 분포는 감마 혼합을 통한 프레셰 법칙의 척도 혼합으로 표현되며, 스니드커-파이셔 분포의 양수 거듭제곱과 동치이며, 모수 추정 및 혼합 표현을 통해 극한 강우 사건의 정확한 모델링과 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Based on the negative binomial model for the duration of wet periods measured in days, an asymptotic approximation is proposed for the distribution of the maximum daily precipitation volume within a wet period. This approximation has the form of a scale mixture of the Frechet distribution with the gamma mixing distribution and coincides with the distribution of a positive power of a random variable having the Snedecor-Fisher distribution. The proof of this result is based on the representation of the negative binomial distribution as a mixed geometric (and hence, mixed Poisson) distribution and limit theorems for extreme order statistics in samples with random sizes having mixed Poisson distributions. Some analytic properties of the obtained limit distribution are described. In particular, it is demonstrated that under certain conditions the limit distribution is mixed exponential and hence, is infinitely divisible. It is shown that under the same conditions the limit distribution can be represented as a scale mixture of stable or Weibull or Pareto or folded normal laws. The corresponding product representations for the limit random variable can be used for its computer simulation. Several methods are proposed for the estimation of the parameters of the distribution of the maximum daily precipitation volume. The results of fitting this distribution to real data are presented illustrating high adequacy of the proposed model. The obtained mixture representations for the limit laws and the corresponding asymptotic approximations provide better insight into the nature of mixed probability ("Bayesian") models.

연구 동기 및 목표

• 습기 기간 내 최대 일강우량의 분포에 대한 통계적으로 타당한 渐近적 근사법을 개발하여, 기존 기하분포 모델의 부적합성을 해결한다.
• 형상 매개수 <1인 음이항분포를 사용하여 습기 기간 지속 기간을 모델링함으로써 기하분포보다 실제 기상 데이터에 더 잘 맞는다.
• 혼합 포아송 및 극한 순서통계이론을 기반으로, 극한 강우량의 극한 분포를 감마 혼합을 통한 프레셰 법칙의 척도 혼합으로 수립한다.
• 실제 자료에 적합하기 위해 최소제곱법과 확률도 그리기 기반의 계산 가능 모수 추정 방법을 제공한다.
• 포츠담과 엘리스타의 장기 일기 강우 자료에 대한 실증적 적합을 통해 모델의 적합도가 높음을 입증한다.

제안 방법

• 형상 매개수가 <1인 음이항분포를 혼합 기하분포 및 혼합 포아송분포로 표현하여, 랜덤 표본 크기가 변하는 경우 극한 순서통계의 극한 정리 적용을 가능하게 한다.
• 혼합 포아송 표본의 극한 순서통계에 대한 극한 정리를 적용하여 최대 일강우량의 渐近적 분포를 유도한다.
• 극한 분포를 감마 분포로 혼합된 프레셰 분포의 척도 혼합으로 유도하며, 스니드커-파이셔 분포의 양수 거듭제곱과 동치이다.
• 두 가지 모수 추정 방법을 제안한다: 확률도 그리기 기반의 '粗안' 방법과 순서통계 및 변환된 분위수를 사용한 최소제곱법.
• 특정 조건 하에서 극한 분포의 곱 표현을 활용하여 시뮬레이션을 수행하며, 안정분포, 베타분포, 파레토분포, 접합 정규분포를 포함한다.
• 다양한 습기 기간 임계치(1~15일)에 대해 모델의 渐近적 행동을 평가하기 위해 캔서링 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형상 매개수가 <1인 음이항분포는 실제 강우 자료에서 기하분포보다 습기 기간 지속 기간을 더 잘 기술할 수 있는가?
• RQ2 습기 지속 기간이 형상 매개수가 r < 1인 음이항분포를 따를 때, 습기 기간 내 최대 일강우량의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 유도된 극한 분포는 어떻게 프레셰 법칙의 척도 혼합으로 표현될 수 있으며, 무한가소성 등의 분석적 성질은 무엇인가?
• RQ4 실제 강우 자료에서 극한 모델의 모수를 효과적이고 정확하게 추정하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 제안된 극한 모델은 다양한 습기 기간 길이 임계치에서 경험적 극한 강우 분포를 얼마나 잘 근사하는가?

주요 결과

• 최대 일강우량의 극한 분포는 감마 혼합을 통한 프레셰 법칙의 척도 혼합이며, 스니드커-파이셔 분포의 양수 거듭제곱과 동치이다.
• 일부 조건 하에서 극한 분포는 무한가소적이며, 안정분포, 베타분포, 파레토분포 또는 접합 정규분포의 척도 혼합으로 표현될 수 있다.
• 최소제곱 모수 추정 방법(식 22 및 23)은 '粗안' 확률도 그리기 방법보다 더 정확한 추정치를 제공한다.
• 캔서링 임계치가 15일까지이고 표본 크기가 150 이상일 때조차도 포츠담(r = 0.847)과 엘리스타(r = 0.876)의 경험적 자료에 뛰어난 적합도를 보인다.
• 캔서링 임계치 ≥3일일 경우에도 근사가 정확하며, 표본 크기보다 임계치의 영향이 더 뚜렷하다.
• 모델의 혼합 표현을 통해 극한 강우 사건의 효율적인 컴퓨터 시뮬레이션을 극한 랜덤 변수의 곱 표현을 통해 구현할 수 있다.