[논문 리뷰] On the Commuting Local Hamiltonian Problem, and Tight Conditions on Topological Order

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 4인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 브라비와 바일리의 2003년 결과를 큐비트 및 큐트리트에서 평면 또는 거의 유클리드 격자에 있는 3체 상호작용으로 확장하여, 문제의 복잡도가 여전히 NP에 속하고, 기본 상태의 얽힘이 국소적임을 증명한다. 이는 3체 국소적 상호작용을 가진 양자 해밀토니안이 위상적 순서를 실현할 수 없고, 4체 이상 또는 고차원 시스템에서는 가능함을 보여주는 날카로운 양자 상전이를 드러낸다. 이는 키타에프의 토릭 코드가 이러한 구성에서 최적임을 시사한다.

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, Nearly Euclidean (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 브라비와 바일리의 2003년 이중 국소적 상호작용을 가진 상호작용하는 해밀토니안의 결과를 3체 상호작용으로 일반화하기 위해.
• 3 큐비트 및 3 큐트리트 상호작용에 대해 상호작용하는 국소적 해밀토니안 문제의 복잡도가 여전히 NP에 속하는지 확인하기 위해.
• 이러한 상호작용하는 시스템의 기본 상태에서의 얽힘의 성격을 조사하기 위해.
• 상호작용하는 해밀토니안 시스템에서 위상적 순서가 나타나기 위한 최소 조건을 규명하기 위해.
• 상호작용하는 해밀토니안을 통한 위상적 순서 실현에서 키타에프의 토릭 코드 구성이 최적임을 입증하기 위해.

제안 방법

• 브라비와 바일리가 C*-대수 이론적 기법을 사용한 이중 국소적 상호작용에서 3체 상호작용으로의 기법 확장.
• 기본 상태의 얽힘을 제약하기 위해 평면 및 거의 유클리드(NE) 격자에서 상호작용하는 해밀토니안의 구조 분석.
• 가장 가능성이 있는 기본 상태와 그들의 얽힘 성질을 분류하기 위해 대수적 및 위상적 제약 조건 적용.
• 상호작용 격자의 그래프 이론적 임bedding을 통해 NP 검증 프레임워크의 적용 가능성을 보장.
• 3체 상호작용 시스템에서 장거리 얽힘이 없음을 증명함으로써 국소적 해밀토니안 문제의 NP-완전성 입증.
• 위상적 순서의 임계점 비교를 위해 키타에프의 토릭 코드를 기준으로 삼음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 격자에서 3체 큐비트 상호작용에 대해 상호작용하는 국소적 해밀토니안 문제를 NP에서 검증할 수 있는가?
• RQ2 3체 상호작용하는 해밀토니안의 기본 상태에서의 얽힘은 엄밀히 국소적인가?
• RQ3 상호작용하는 해밀토니안 모델에서 위상적 순서를 실현하기 위해 필요한 최소 상호작용 강도 또는 시스템 차원은 무엇인가?
• RQ4 국소성과 큐디트 차원에 기반해 위상적 순서를 지닌 시스템과 지지하지 않는 시스템 사이에 급격한 전이가 존재하는가?
• RQ5 상호작용하는 해밀토니안을 통한 위상적 순서 실현에서 키타에프의 토릭 코드 구성이 최적인가?

주요 결과

• 평면 또는 거의 유클리드 격자에서 3체 큐비트 및 큐트리트 상호작용을 가진 상호작용하는 국소적 해밀토니안 문제는 NP에 속한다.
• 이러한 시스템의 기본 상태는 장거리 또는 위상적 상관관계 없이 오직 국소적 얽힘을 보인다.
• 급격한 전이가 발생한다: 큐비트 또는 큐트리트를 가진 3체 시스템은 위상적 순서를 실현할 수 없지만, 4체 이상 또는 고차원 큐디트 시스템은 가능하다.
• 위상적 순서는 키타에프의 토릭 코드 구성이 4체 이상 또는 차원 ≥ 4인 큐디트를 포함할 때에만 실현 가능하다.
• 상호작용하는 해밀토니안을 통한 위상적 순서 실현에서 키타에프의 토릭 코드는 최소한의 필수 조건을 충족하므로 최적의 구성이다.