[논문 리뷰] On the Complexity of BWT-Runs Minimization via Alphabet Reordering

Jason Bentley, Daniel Gibney외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 08.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 33인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 알파벳 재정렬을 통한 버러스-윌러 변환(Burrows-Wheeler Transform, BWT)에서 런 수를 최소화하는 데 있어 계산 복잡도를 규명하며, 결정 문제는 NP-완전임을 증명하고, 지수 시간 가설(Exponential Time Hypothesis) 하에 초지수 시간 내에 해결될 수 없음을 보인다. 또한 최적화 문제의 APX-난이도를 입증하며, BWT 런 수와 그래프에서의 여행 판매원 경로 사이의 놀라운 연결 고리를 드러내며, 유일하게 한 번만 등장하는 기호를 포함한 제약 조건이 있는 변형 문제에 대해 선형 시간 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

The Burrows-Wheeler Transform (BWT) has been an essential tool in text compression and indexing. First introduced in 1994, it went on to provide the backbone for the first encoding of the classic suffix tree data structure in space close to the entropy-based lower bound. Recently, there has been the development of compact suffix trees in space proportional to "$r$", the number of runs in the BWT, as well as the appearance of $r$ in the time complexity of new algorithms. Unlike other popular measures of compression, the parameter $r$ is sensitive to the lexicographic ordering given to the text's alphabet. Despite several past attempts to exploit this, a provably efficient algorithm for finding, or approximating, an alphabet ordering which minimizes $r$ has been open for years. We present the first set of results on the computational complexity of minimizing BWT-runs via alphabet reordering. We prove that the decision version of this problem is NP-complete and cannot be solved in time $2^{o(σ+ \sqrt{n})}$ unless the Exponential Time Hypothesis fails, where $σ$ is the size of the alphabet and $n$ is the length of the text. We also show that the optimization problem is APX-hard. In doing so, we relate two previously disparate topics: the optimal traveling salesperson path and the number of runs in the BWT of a text, providing a surprising connection between problems on graphs and text compression. Also, by relating recent results in the field of dictionary compression, we illustrate that an arbitrary alphabet ordering provides a $O(\log^2 n)$-approximation. We provide an optimal linear-time algorithm for the problem of finding a run minimizing ordering on a subset of symbols (occurring only once) under ordering constraints, and prove a generalization of this problem to a class of graphs with BWT like properties called Wheeler graphs is NP-complete.

연구 동기 및 목표

• 알파벳 재정렬을 통한 BWT에서 런 수를 최소화하는 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 오랜 기간 동안의 관심에도 불구하고 이 문제에 대한 효율적인 알고리즘이 여전히 미해결된 이유를 이해하는 것.
• 런 최소화 문제에 대해 NP-완전성과 APX-난이도를 입증하는 것.
• BWT 런 수와 그래프 문제, 특히 여행 판매원 경로 문제 사이의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 유일하게 한 번만 나타나는 기호를 포함한 제한된 버전의 문제에 대해 다항 시간 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 여행 판매원 경로 문제의 변종으로부터의 축소를 통해 BWT 런 최소화 문제의 결정 문제에 대한 NP-완전성을 증명하는 것.
• 간격 유도 축소를 사용하여 최적화 문제의 근사 불가능성을 입증하며, APX-난이도를 확립하는 것.
• 구축된 그래프에서 BWT 런 수와 최적 TSP 경로 길이 사이의 놀라운 연결 고리를 드러내는 것.
• 유일하게 한 번만 나타나는 기호가 고정된 블록 제약 조건 하에서 재정렬되는 제약 조건이 있는 알파벳 순서 문제(CAO)에 대해 선형 시간 그레디 알고리즘을 개발하는 것.
• BWT의 블록과 튜플 개념을 활용하여 문제를 인접한 매칭을 극대화하기 위한 기호 집합의 순서 정렬 문제로 모델링하는 것.
• 가장 긴 공통 연장(LCE) 데이터 구조를 활용하여 선형 시간 내에 블록 경계를 식별하고, 효율적인 튜플 구성이 가능하도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알파벳 재정렬을 통한 BWT 런 최소화 문제는 NP-완전한가?
• RQ2 BWT 런 최소화 문제는 상수 요소 내에서 근사 가능할 수 있는가, 아니면 APX-난이도인가?
• RQ3 관련된 그래프에서 BWT 런 수와 최적 TSP 경로 길이 사이에 구조적 연결 고리가 존재하는가?
• RQ4 유일하게 한 번만 나타나는 기호만 재정렬하는 제한된 버전의 문제에 대해 다항 시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 임의의 기호 배치 제약 조건이 있는 일반적인 제약 조건이 있는 알파벳 순서 정렬 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 알파벳 재정렬을 통한 BWT 런 수 최소화의 결정 문제는 NP-완전하다.
• 최적화 문제의 APX-난이도는 다항 시간 근사 스킴이 존재하지 않음을 의미하며, P = NP 가 아닌 한 존재하지 않는다.
• 지수 시간 가설이 성립하지 않는 한, 문제는 2^o(σ + √n) 시간 내에 해결될 수 없다.
• 구축된 그래프에서 BWT 런 수와 최적 TSP 경로 길이 사이에 놀라운 연결 고리가 확립되었다.
• 유일하게 한 번만 나타나는 기호가 고정된 블록 제약 조건 하에서 재정렬되는 제약 조건이 있는 알파벳 순서 문제(CAO)에 대해 최적의 선형 시간 알고리즘이 제시되었다.
• 임의의 알파벳 순서는 일반적인 런 최소화 문제에 대해 O(log²n)-근사 해법을 제공한다.