[논문 리뷰] On the Complexity of Computing Zero-Error and Holevo Capacity of Quantum Channels

Salman BeigiPeter, W. Shor|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 26인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 양자 채널을 통과한 후 k개의 양자 상태가 여전히 완벽하게 구별 가능한지 여부를 판단하는 양자 클리크 문제를 정의하며, 이 문제가 QMA-완전하다고 증명함으로써 양자 정보 이론에서의 근본적인 복잡도를 밝혀냈다. 또한 양자 채널의 홀로보 용량과 최소 출력 엔트로피를 계산하는 것은, 얽힘 파괴 채널을 포함한 모든 양자 채널에 대해 NP-완전하다고 증명하여, 양자 채널 용량 추정의 깊은 계산적 한계를 드러냈다.

ABSTRACT

One of the main problems in quantum complexity theory is that our understanding of the theory of QMA-completeness is not as rich as its classical analogue, the NPcompleteness. In this paper we consider the clique problem in graphs, which is NPcomplete, and try to find its quantum analogue. We show that, quantum clique problem can be defined as follows; Given a quantum channel, decide whether there are k states that are distinguishable, with no error, after passing through channel. This definition comes from reconsidering the clique problem in terms of the zero-error capacity of graphs, and then redefining it in quantum information theory. We prove that, quantum clique problem is QMA-complete. In the second part of paper, we consider the same problem for the Holevo capacity. We prove that computing the Holevo capacity as well as the minimum entropy of a quantum channel is NP-complete. Also, we show these results hold even if the set of quantum channels is restricted to entanglement breaking ones.

연구 동기 및 목표

• 채널을 통과한 후 양자 상태의 0 오류 구별 가능성을 기반으로 고전적 NP-완전 클리크 문제의 양자 버전을 정의하기.
• 양자 채널의 0 오류 용량을 결정하는 데 필요한 계산 복잡도를 분석하고, 이를 양자 클리크 문제로 프레임워크화하기.
• 양자 채널의 홀로보 용량과 최소 출력 엔트로피 계산의 복잡도를 분석하며, 얽힘 파괴 채널을 포함한 경우를 고려하기.
• 이러한 양자 용량 계산 문제들이 모두 NP-완전하다는 것을 입증하여, 고전적 복잡도 결과를 양자 환경으로 확장하기.

제안 방법

• 그래프의 간선을 양자 상태의 0 오류 구별 가능성으로 변환함으로써, 고전적 클리크 문제를 그래프의 0 오류 용량의 관점에서 재구성하기.
• 주어진 양자 채널을 통과한 후 k개의 양자 상태가 여전히 완벽하게 구별 가능한지 여부를 판단하는 문제를 양자 클리크 문제로 정의하기.
• 기존의 복잡도 이론적 감소 기법과 구성 기법을 활용하여, 알려진 QMA-완전 문제들로부터의 감소를 통해 양자 클리크 문제가 QMA-완전하다는 것을 증명하기.
• 유사한 기법을 적용하여, 양자 채널의 홀로보 용량과 최소 출력 엔트로피 계산이 NP-완전하다는 것을 보이며, 특히 얽힘 파괴 채널에 국한된 경우에도 성립함을 입증하기.
• 양자 채널의 성질과 바나흐-바르바시안 엔트로피, 상호정보량과 같은 정보 이론적 측정치를 활용하여 계산 문제를 수학적으로 정의하기.
• 기존의 NP-완전 문제들로부터 감소를 통해 난이도를 입증하고, 다항 시간 검증기를 제시하여 홀로보 용량 및 엔트로피 문제의 NP에 속해 있음을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 채널과 0 오류 통신의 맥락에서 고전적 클리크 문제의 자연스러운 양자 대응은 존재하는가?
• RQ2 k개의 양자 상태가 양자 채널을 통과한 후 여전히 완벽하게 구별 가능한지 여부를 판단하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 양자 채널의 홀로보 용량을 계산하는 것은 계산적으로 어려운 문제인가? 만약 그렇다면, 이 복잡도는 고전적 대응과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 얽힘 파괴 채널에 국한된 경우에도 홀로보 용량과 최소 출력 엔트로피 계산의 NP-완전성은 유지되는가?
• RQ5 양자 클리크 문제가 양자 버전의 NP, 즉 QMA에 대해 완전하다는 것을 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 채널을 통과한 후 k개의 양자 상태가 여전히 완벽하게 구별 가능한지 여부를 판단하는 양자 클리크 문제는 QMA-완전하다는 것이 입증되었다.
• 양자 채널의 홀로보 용량을 계산하는 것은, 채널이 얽힘 파괴 채널에 국한된 경우에도 NP-완전하다.
• 동일한 제약 조건 하에, 양자 채널의 최소 출력 엔트로피 계산 역시 NP-완전하다.
• 홀로보 용량과 최소 출력 엔트로피 계산의 NP-완전성은 양자 채널 집합이 얽힘 파괴 채널로 국한된 경우에도 유지된다.
• 이러한 결과는 양자 정보 이론적 측정치와 계산 복잡도 사이에 직접적인 연결 고리를 설정하며, 기본적인 용량 측정치가 계산적으로 어려운 문제임을 보여준다.
• 이러한 발견들은 고전적 복잡도 결과를 양자 영역으로 확장하여, 양자 정보 용량 문제들이 고전적 대응과 동일한 난이도를 가짐을 입증하며, 양자 클리크 문제가 QMA-완전하다는 것을 보여준다.