[논문 리뷰] On the deformations of canonical double covers of minimal rational surfaces

Francisco Javier Gallego, Miguel González외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매우 충분한 선형 계열에 의해 매장된 최소 유리 표면(예: $\mathbf{P}^2$, $\mathbf{F}_e$)의 정규 이중 쌍대의 변형 이론을 조사한다. 무한소 코homological 기준을 사용하여, 정규 사상의 임의의 변형이 여전히 차수 2를 유지함을 증명함으로써, 캐스텔누오보 선 위 또는 위에 있는 불변량을 가질 경우에도 이러한 표면의 모듈리 성분이 오직 차수 2의 쌍대만을 매개함을 보장한다. 이는 모듈리 행동의 모호함을 해결하고, 이러한 표면 위에 정규로 매장된 다중 구조가 존재하지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

The purpose of this article is to study the deformations of smooth surfaces $X$ of general type whose canonical map is a finite, degree 2 morphism onto a minimal rational surface or onto $\mathbf F_1$, embedded in projective space by a very ample complete linear series. Among other things, we prove that any deformation of the canonical morphism of such surfaces $X$ is again a morphism of degree 2. A priori, this is not at all obvious, for the invariants $(p_g(X),c_1^2(X))$ of most of these surfaces lie on or above the Castelnuovo line; thus, in principle, a deformation of such $X$ could have a birational canonical map. We also map the region of the geography of surfaces of general type corresponding to the invariants of the surfaces $X$ and we compute the dimension of the irreducible moduli component containing $[X]$. In certain cases we exhibit some interesting moduli components parametrizing surfaces $S$ whose canonical map has different behavior but whose invariants are the same as the invariants of $X$. One of the interests of the article is that we prove the results about moduli spaces employing crucially techniques on deformation of morphisms. The key point or our arguments is the use of a criterion that requires only infinitesimal, cohomological information of the canonical morphism of $X$. As a by-product, we also prove the non-existence of "canonically" embedded multiple structures on minimal rational surfaces and on $\mathbf F_1$.

연구 동기 및 목표

• 일반 표면이 최소 유리 표면의 정규 이중 쌍대인 경우 정규 사상의 변형 행동을 이해하는 것.
• 특히 캐스텔누오보 선 위 또는 위에 있는 불변량을 가질 경우 이러한 표면이 비단사적 정규 사상으로 변형될 수 있는지의 모호함을 해결하는 것.
• 이러한 표면을 포함하는 기약 모듈리 성분의 차원을 계산하고, 다른 정규 사상 행동을 보이는 서로 다른 성분을 식별하는 것.
• $\mathbf{P}^2$ 및 히르체브루흐 표면 $\mathbf{F}_e$ 위에 정규로 매장된 다중 구조가 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 이 정규 이중 쌍대가 커버하는 불변량의 지리적 영역을 매핑하고, 비단사적 정규 사상이 있는 표면의 모듈리 성분과 비교하는 것.

제안 방법

• 정규 사상의 변형을 제어하기 위해, 특히 $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$의 소멸을 기반으로 한 무한소 코homological 데이터 기준을 사용한다.
• 사상의 변형 이론을 적용하여, 캐스텔누오보 선 위에 있는 불변량을 가질 경우조차도 차수 2 성질이 유지됨을 보여준다.
• 기저점이 없는 분지 초면을 가진 $\mathbf{P}^2$ 및 $\mathbf{F}_e$ 위의 정규 이중 쌍대 구성법을 사용하여 구체적인 예를 생성한다.
• 조정 및 코homological 도구를 사용하여 공식 $\dim \mathcal{M} = \chi(N_X) = \chi(\omega_X^{-1}) + \chi(\omega_X)$를 통해 모듈리 차원을 계산한다.
• [GGP10] 및 [AK90]의 결과에 의존하여, 비단사적 정규 사상이 있는 알려진 표면들과 비교하고, 서로 다른 모듈리 성분을 식별한다.
• 다른 표면 가닥 간의 공통 불변량을 결정하기 위해 식 $y = 6\frac{m-3}{m-2}x' - (m-3)(m+3)$을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐스텔누오보 선 위 또는 위에 있는 불변량을 가진 유리 표면의 정규 이중 쌍대가 비단사적 정규 사상으로 변형될 수 있는가?
• RQ2 불변량이 그러한 징후를 보일 경우조차도 정규 사상의 차수 2 성질이 변형에 의해 유지되는가?
• RQ3 $\mathbf{P}^2$ 또는 $\mathbf{F}_e$ 위에 정규로 매장된 다중 구조가 존재하는가?
• RQ4 동일한 불변량을 가진 표면의 경우, 차수 2 정규 사상이 있는 모듈리 성분과 비단사적 정규 사상이 있는 성분 간의 비교는 어떻게 되는가?
• RQ5 정규 이중 쌍대를 가진 유리 표면을 포함하는 기약 모듈리 성분의 차원은 얼마인가?

주요 결과

• 기저점이 없는 분지 초면을 가진 $\mathbf{P}^2$ 또는 $\mathbf{F}_e$의 정규 이중 쌍대 표면 $X$의 정규 사상의 임의의 변형은 여전히 차수 2의 유한 사상으로 유지된다.
• 불변량이 캐스텔누오보 선 위 또는 위에 있을 경우조차도 $[X]$를 포함하는 모듈리 성분은 오직 차수 2 정규 사상만을 매개한다.
• 불변량 $(p_g, c_1^2) = (39, 110)$에 대해, 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{(39,0,110)}$은 최소 두 개의 서로 다른 성분을 가진다: 하나는 비단사적 정규 사상이고, 다른 하나는 차수 2 사상이다.
• 불변량 $(p_g, c_1^2) = (45, 128)$에 대해, 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{(45,0,110)}$은 최소 세 개의 성분을 가진다. 이 중 두 개는 $\mathbf{P}^2$ 및 $\mathbf{F}_0$ 쌍대에서 유래한 차수 2 정규 사상이다.
• $\mathbf{F}_0$에 대해 $|4C_0 + 8f|$를 통한 이중 쌍대의 모듈리 성분 차원은 266이며, 옥터식을 통한 $\mathbf{P}^2$의 경우는 267로, 서로 다른 성분임을 보여준다.
• $\mathbf{P}^2$ 또는 $\mathbf{F}_e$ 위에는 정규로 매장된 다중 구조가 존재하지 않으며, 이는 $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$의 소멸을 통해 입증된다.