[논문 리뷰] On the density of exponential functionals of Lévy processes

Juan Carlos Pardo, Víctor Rivero외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 19.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $ \xi $ 가 서브도리에 대한 음수이고 $ \mathbf{e}_q $ 가 비율 $ q \geq 0 $ 를 가진 독립적인 지수분포 랜덤 변수일 때, 지수 기능적 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $ 의 밀도에 대한 적분방정식을 수립한다. 주요 기여는 $ q > 0 $ 인 경우 Carmona 등이 $ q = 0 $ 에 대해 수립한 적분방정식을 일반화한 것으로, $ q = 0 $ 이고 $ \xi $ 가 서브도리일 때 0 근처 밀도의 명시적 점근적 행동과, $ \xi $ 가 스펙트르ально 양의 Lévy 과정이며 $ \infty $ 로 수렴할 때 $ \infty $ 에서의 밀도 점근적 행동을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of the density associated to the exponential functional of the Lévy process $ξ$, \[ I_{\ee_q}:=\int_0^{\ee_q} e^{ξ_s} \, \mathrm{d}s, \] where $\ee_q$ is an independent exponential r.v. with parameter $q\geq 0$. In the case when $ξ$ is the negative of a subordinator, we prove that the density of $I_{\ee_q}$, here denoted by $k$, satisfies an integral equation that generalizes the one found by Carmona et al. \cite{Carmona97}. Finally when $q=0$, we describe explicitly the asymptotic behaviour at 0 of the density $k$ when $ξ$ is the negative of a subordinator and at $\infty$ when $ξ$ is a spectrally positive Lévy process that drifts to $+\infty$.

연구 동기 및 목표

• 지수 기능적 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $ 의 밀도 존재성과 성질 연구, 여기서 $ \xi $ 는 Lévy 과정이고 $ \mathbf{e}_q $ 는 비율 $ q \geq 0 $ 인 독립적인 지수시간이다.
• 기존에 알려진 바가 없었기 때문에 $ q > 0 $ 인 경우 밀도 존재성에 대한 지식 격차를 메운다.
• Carmona 등이 $ q = 0 $ 인 경우에 이전에 수립한 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 의 밀도에 대한 적분방정식을 일반화하여, $ \xi $ 가 서브도리의 음수일 때 $ q > 0 $ 으로 확장한다.
• 서브도리의 음수일 때 $ I $ 의 밀도가 0 근처에서의 점근적 행동을 기술하고, 스펙트르ально 양의 Lévy 과정이 $ +\infty $ 로 수렴할 때 $ \infty $ 에서의 점근적 행동을 기술한다.
• 비균일 격자 이산화 방법을 사용하여 밀도와 그 점근적 행동의 수치적 시각화를 제공한다.

제안 방법

• 서브도리의 음수일 때 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 의 밀도 $ k $ 에 대한 일반화된 적분방정식 유도, 이는 Carmona 등이 $ q = 0 $ 에서 유도한 것을 $ q > 0 $ 으로 확장한다.
• 서브도리의 라플라스 지수와 Lévy 측도를 사용하여, 적분방정식을 꼬리 측도 $ \overline{\Pi}(x) = \Pi(x, \infty) $ 로 표현한다.
• 균일하지 않은 격자 $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ 를 사용한 이산화 방법을 구현하여 밀도 $ k $ 를 근사함으로써 등간격 격자보다 효율성을 향상시킨다.
• 역순서로 $ y_i $ 를 구하는 반복 방법을 적용하여 적분방정식을 해결하고, 총 질량이 1이 되도록 정규화한다.
• 모든 수치 계산, 통합 및 플로팅을 위해 오픈소스 SAGE 컴퓨터 대수 시스템을 사용한다.
• 기존에 명시적인 밀도가 알려진 경우에 대해 방법을 검증하여 수치 근사 $ \tilde{k} $ 와 진짜 밀도 $ k $ 를 비교하고, 점근적 정확도 평가를 위해 비율 $ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ 를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 기능적 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 의 밀도 존재성과 구조는 $ q > 0 $ 인 경우, 특히 $ \xi $ 가 서브도리의 음수일 때 어떻게 되는가?
• RQ2 밀도에 대한 적분방정식은 기존의 $ q = 0 $ 경우에서 $ q > 0 $ 으로 어떻게 일반화할 수 있으며, 그 일반화된 방정식의 형태는 무엇인가?
• RQ3 서브도리의 음수이고 $ q = 0 $ 일 때 $ I $ 의 밀도가 0 근처에서의 점근적 행동은 무엇이며, 이는 Lévy 측도의 꼬리와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 스펙트르ально 양의 Lévy 과정이 $ +\infty $ 로 수렴하고 $ q = 0 $ 일 때 $ I $ 의 밀도가 $ \infty $ 에서의 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 밀도 $ k $ 를 근사하는 데 제안된 수치 방법의 정확도는 어떻게 되며, 특히 0 근처와 $ \infty $ 에서의 점근적 행동을 어떻게 잘 포착하는가?

주요 결과

• 이 논문은 $ \xi $ 가 서브도리의 음수이고 $ q > 0 $ 일 때 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 의 밀도 $ k $ 에 대한 일반화된 적분방정식을 수립하여, Carmona 등이 $ q = 0 $ 에서 유도한 결과를 $ q > 0 $ 으로 확장한다.
• $ q = 0 $ 일 때, 서브도리의 음수일 경우 0 근처에서 밀도 $ k $ 의 점근적 행동이 명시적으로 기술되며, 특정 조건 하에 밀도가 $ x^{\beta/a - 1} $ 과 유사하게 행동함을 보여준다.
• $ q = 0 $ 일 때, 스펙트르ально 양의 Lévy 과정이 $ +\infty $ 로 수렴할 경우 $ \infty $ 에서의 밀도 $ k $ 의 점근적 행동이 기술되며, 라플라스 지수에 따라 결정되는 거듭제곱 법칙에 따라 감소함을 보여준다.
• 비균일 격자 $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ 를 사용한 수치 방법은 밀도 $ k $ 의 높은 효율성과 정확도를 가진 근사치를 제공하며, 알려진 사례에서 $ \tilde{k} $ 와 $ k $ 를 비교한 플롯에서 수렴이 관찰된다.
• 안정 서브도리의 경우 $ c = 1 $, $ \Pi(dx) = x^{-1-a} dx $, $ a = 1/4 $ 일 때, 수치 근사 $ \tilde{k} $ 는 이론적 기대에 부합하는 올바른 거듭제곱 감소 행동을 0 근처에서 잘 포착한다.
• 영 드리프트와 Lévy 측도 $ \Pi(dx) = x^{-1/4} e^{-x^n} dx $ 를 가진 서브도리의 경우, 수치 결과는 밀도 $ \tilde{k} $ 의 형태가 $ n $ 에 따라 달라지며, $ n = 1, 2, 3 $ 에 대해 서로 다른 프로파일을 보이며, 작은 $ x $ 에서 비율 $ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ 가 약 1에 수렴함을 보여, 점근적 행동이 확인된다.