[논문 리뷰] On the Derivative Imbalance and Ambiguity of Functions

Shihui Fu, Xiutao Feng외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 아벨 군 간 함수의 도함수 불균형성과 모호성에 대한 통합 프레임워크를 수립하며, Carlet과 Ding가 도입한 도함수 불균형성 매개변수 $NB_F$와 모호성이 동치임을 증명한다. 저자들은 $NB_F$에 대한 새로운 하한을 유도하고, 비선형성 및 미분 균일성과의 연관성을 분석하며, 특히 $ Rubio^n $에서의 거듭제곱 함수에 대해 기존의 하한을 향상시는 바, 특정 경우에 $NB_F \geq 6$ 또는 $8$임을 보인다.

ABSTRACT

In 2007, Carlet and Ding introduced two parameters, denoted by $Nb_F$ and $NB_F$, quantifying respectively the balancedness of general functions $F$ between finite Abelian groups and the (global) balancedness of their derivatives $D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$, $a\\in G\\setminus\\{0\\}$ (providing an indicator of the nonlinearity of the functions). These authors studied the properties and cryptographic significance of these two measures. They provided for S-boxes inequalities relating the nonlinearity $\\mathcal{NL}(F)$ to $NB_F$, and obtained in particular an upper bound on the nonlinearity which unifies Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay's bound and the covering radius bound. At the Workshop WCC 2009 and in its postproceedings in 2011, a further study of these parameters was made; in particular, the first parameter was applied to the functions $F+L$ where $L$ is affine, providing more nonlinearity parameters. In 2010, motivated by the study of Costas arrays, two parameters called ambiguity and deficiency were introduced by Panario \\emph{et al.} for permutations over finite Abelian groups to measure the injectivity and surjectivity of the derivatives respectively. These authors also studied some fundamental properties and cryptographic significance of these two measures. Further studies followed without that the second pair of parameters be compared to the first one. In the present paper, we observe that ambiguity is the same parameter as $NB_F$, up to additive and multiplicative constants (i.e. up to rescaling). We make the necessary work of comparison and unification of the results on $NB_F$, respectively on ambiguity, which have been obtained in the five papers devoted to these parameters. We generalize some known results to any Abelian groups and we more importantly derive many new results on these parameters.

연구 동기 및 목표

• 도함수 불균형성($NB_F$)과 모호성이라는 두 가지 암호학적 매개변수를 통합하고 비교하는 것.
• 기존의 $NB_F$와 모호성에 관한 결과를 임의의 유한 아벨 군으로 일반화하는 것.
• $NB_F$에 대한 새로운 하한과 비선형성 및 미분 균일성과의 관계를 도출하는 것.
• $NB_F$, 모호성, 고차 도함수 또는 자기상관 함수 간의 관계를 조사하는 것.
• 특히 $n$ 이 홀수이거나 $n/2 < m < n$일 경우, $ Rubio^n $에서의 거듭제곱 함수에 대해 기존의 하한을 향상시키는 것.

제안 방법

• 저자들은 모든 비영인 도함수 $D_aF$에 대해 전상태 크기 분산의 합으로서 도함수 불균형성 $NB_F$를 정의하고 분석한다.
• 이전에 Costas 배열 이론에서 연구된 모호성은 스케일링을 제외하고는 $NB_F$와 동치임을 증명하여, 이전에 별개로 연구된 두 연구 분야를 통합한다.
• 푸리에 분석을 통해 $F$의 푸리에 변환의 네 번째 모멘트를 이용한 $NB_F$의 특성화를 도출한다.
• 유한체 $ Rubio^n $에서의 거듭제곱 함수 $F(x) = x^d$에 대해, $D_1F$의 전상태 크기를 사용하여 $NB_F$를 명시적으로 계산함으로써 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.
• 이 결과들을 바탕으로 $NB_F$에 대한 새로운 하한을 도출하며, 예를 들어 특정 조건 하에서 $NB_F \geq 6$ 또는 $8$임을 보이며 이전의 하한 $NB_F \geq 2$를 향상시킨다.
• 이차 도함수와 자기상관 함수를 분석하여 $NB_F$와 함수의 행동 간 깊은 구조적 연결을 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Costas 배열 이론에서 사용되는 모호성 매개변수는 Carlet과 Ding가 도입한 도함수 불균형성 $NB_F$와 동치인가?
• RQ2 비선형성과 미분 균일성의 관점에서 $NB_F$에 대한 가장 날카로운 하한은 무엇인가?
• RQ3 일반적인 유한 아벨 군 간 함수에 대해 푸리에 변환의 네 번째 모멘트를 어떻게 사용하여 $NB_F$를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 거듭제곱 함수에 대해 $ Rubio^n $에서의 $NB_F$의 명시적 값은 무엇이며, 이는 지수 $d$와 체 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 $NB_F > 2^{n-m+2}(2^{n/2}+1)(2^m-1)$이라는 하한을 증명하여, 비선형성에 대한 커버링 반경 하한을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 모호성과 $NB_F$는 스케일링을 제외하고 동치이며, 이는 이전에 별개로 연구된 두 연구 분야를 통합한다.
• 유한체 $ Rubio^n $에서의 거듭제곱 함수 $F(x) = x^d$에 대해, 저자들은 정확한 공식 $NB_F = 2^n(2^n - 1)(|D_1F^{-1}(1)| - 1) - 2^{2n - m}(2^n - 1)$을 도출한다.
• 함수가 이차일 경우, 예를 들어 $x^{2^i + 2^j}$일 경우, 공식은 $NB_F = 2^n(2^n - 1)(2^s - 1)$로 단순화되며, 여기서 $s = \gcd(i-j, n)$이다.
• 논문은 $NB_F$의 하한을 이전의 $2$에서 특정 조건 하에서 $6$ 또는 $8$로 향상시켰으며, 특히 $n$ 이 홀수이고 $m < n$이거나, $n$ 이 짝수이며 $n/2 < m < n$일 경우에 해당한다.
• 이 조건 하에서 $NB_F \geq 6$ 또는 $8$임을 보이며, 이는 이전의 하한 $NB_F \geq 2$에 비해 상당한 향상이다.
• 논문은 $NB_F$와 푸리에 변환의 네 번째 모멘트 사이의 연결고리를 확립하여, 비선형성 분석을 위한 새로운 분석 도구를 제공한다.