[논문 리뷰] On the disjointness property of groups and a conjecture of Furstenberg

Eli Glasner, Benjamin Weiss|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 23.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1967년 푸르스텐베르크의 추측을, 베르누이 시스템과 최소 시스템 간의 분리성에 관한 것에서, 가산군의 넓은 범주로 일반화한다. DJ 및 DDJ 성질—군 작용에 대한 동역학적 조건—을 도입함으로써, 모든 유한 생성 DDJ 군은 DJ임을 증명하고, 따라서 푸르스텐베르크의 추측이 이러한 모든 군들에 대해 성립함을 보이며, 이는 이전의 ℤ에서의 결과를 일반 아메니타리 및 잔여 유한 군으로 확장한다.

ABSTRACT

In his seminal 1967 paper "Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation" Furstenberg introduced the notion of disjointness of dynamical systems, both topological and measure preserving. In this paper he showed that for actions of the integers the Bernoulli system $Ω= \{0, 1\}^\mathbb{Z}$, is disjoint from every minimal system, and that the subring $R_0$, over the field $\mathbb{Z}_2 =\{0, 1\}$, generated by the minimal functions in $Ω$, is a proper subset of $Ω$. He conjectured that a similar result holds in general and in our 1983 work "Interpolation sets for subalgebras of $l^\infty(\mathbb{Z})$" we confirmed this by showing that the closed subalgebra $\mathfrak{A}$ of $l^\infty(\mathbb{Z})$, generated by the minimal functions, is a proper subalgebra of $l^\infty(\mathbb{Z})$. In this work we generalize these results to a large class of groups. We call a countable group $G$ a DJ group if for every metrizable minimal action of $G$ there exists an essentially free minimal action disjoint from it. We show that amenable groups are DJ and that the DJ property is preserved under direct products. We define a simple dynamical condition DDJ on minimal systems, which is a strengthening of the Gottchalk-Hedlund property, and we say that a group $G$ is DDJ if every minimal $G$-system has this property. The DJ property implies DDJ and by means of an intricate construction we show that every finitely generated DDJ group is also DJ. Residually finite, maximally almost periodic and $C^*$-simple groups are all DDJ. Finally we show that Furstenberg's conjecture holds for every DDJ group.

연구 동기 및 목표

• 푸르스텐베르크의 추측을 ℤ에서 더 넓은 범위의 가산군으로 확장한다: 베르누이 시스템과 최소 시스템 간의 분리성에 관한 것.
• 가산군에서 DJ 성질—주어진 최소 작용과 분리되는 본질적으로 자유인 최소 작용의 존재—의 정의 및 분석.
• Gottschalk-Hedlund 조건을 강화한 DDJ 성질을 도입하여, DJ 성질을 위한 충분조건으로 삼는다.
• DJ 성질이 DDJ 성질을 함의하고, 모든 유한 생성 DDJ 군이 DJ임을 확립함으로써, 이 설정에서 푸르스텐베르크의 추측을 확인한다.
• 주요 군의 범주—아메니타리, 잔여 유한, 최대한으로 거의 주기적, C*-단순 군—이 DDJ임을 보이며, 따라서 추측을 만족함을 보인다.

제안 방법

• 메트라이즈블 최소 G-작용에 대해, 본질적으로 자유인 최소 작용이 그와 분리되는 경우를 만족하는 가산군 G를 DJ로 정의한다.
• Gottschalk-Hedlund 성질을 강화한 동역학적 조건인 DDJ 성질을 도입하여, 최소 시스템에서의 균일한 재등장성과 분리성을 보장한다.
• DJ 성질이 DDJ 성질을 함의함을 증명함으로써, 군 성질의 계층을 확립한다.
• 위상 동역학 및 기호 동역학 기법을 사용하여, 모든 유한 생성 DDJ 군이 DJ임을 보여주는 복잡한 예를 구성한다.
• 아메니타리 군은 DJ임을 보이며, DJ 성질은 직접 곱에 대해 보존됨을 보인다.
• 잔여 유한, 최대한으로 거의 주기적, C*-단순 군이 DDJ 조건을 만족함을, 그들의 구조적 성질을 사용하여 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸르스텐베르크의 추측—베르누이 시스템과 최소 시스템 간의 분리성—은 ℤ를 초월하여 다른 가산 군으로까지 확장 가능한가?
• RQ2 어떤 군론적 조건에서 모든 최소 작용이 분리되는 본질적으로 자유인 최소 작용을 가질 수 있는가?
• RQ3 Gottschalk-Hedlund 조건을 강화한 DDJ 성질은 DJ 성질을 확보하는 데 충분한가?
• RQ4 아메니타리, 잔여 유한, C*-단순 군과 같은 주요 군의 범주가 DJ 또는 DDJ인가?
• RQ5 직접 곱과 같은 군 연산에서 DJ 성질은 보존되는가?

주요 결과

• 아메니타리 군은 DJ이므로, 모든 메트라이즈블 최소 작용이 분리되는 본질적으로 자유인 최소 작용을 가진다.
• DJ 성질은 군의 직접 곱에 대해 보존된다.
• 모든 유한 생성 DDJ 군은 DJ이므로, 동역학적 조건과 분리성 성질 사이의 다리가 마련된다.
• 잔여 유한, 최대한으로 거의 주기적, C*-단순 군은 모두 DDJ이므로 더 강력한 동역학적 조건을 만족한다.
• 푸르스텐베르크의 추측은 모든 DDJ 군에서 성립하며, 이 범주에서 최소 시스템과 분리되는 베르누이 유형 시스템의 존재가 확인된다.
• 최소 함수로 생성되는 l∞(ℤ)의 닫힌 부분대수 𝔞는 진부분대수이며, 이는 이전 ℤ 기반 결과를 더 넓은 군 설정으로 일반화한다.