[논문 리뷰] On the distance between probability density functions

Vlad Bally, Lucia Caramellino|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 마리아비안-소볼레프 노름을 사용하여 위너 공간 상의 함수에 대한 확률밀도함수와 포아송 점과정 사이의 거리에 대한 경계를 설정한다. 고차수 마리아비안 소볼레프 공간에서 유계인 수열의 분포 수렴이 전체 변화 거리 수렴을 이끌어내며, 밀도 도함수에 대한 추가적인 정칙성 결과와 마리아비안 공분산 행렬을 기반으로 한 절대연속성에 대한 기준을 제시한다.

ABSTRACT

We give estimates of the distance between the densities of the laws of two functionals $F$ and $G$ on the Wiener space in terms of the Malliavin-Sobolev norm of $F-G.$ We actually consider a more general framework which allows one to treat with similar (Malliavin type) methods functionals of a Poisson point measure (solutions of jump type stochastic equations). We use the above estimates in order to obtain a criterion which ensures that convergence in distribution implies convergence in total variation distance; in particular, if the functionals at hand are absolutely continuous, this implies convergence in $L^{1}$ of the densities.

연구 동기 및 목표

• 마리아비안 미적분을 사용하여 위너 공간 상의 함수에 대한 확률밀도함수와 포아송 과정 사이의 거리 추정을 도출한다.
• 분포 수렴이 전체 변화 거리 수렴으로 이어지는 조건을 설정한다.
• 마리아비안 미적분을 기반으로 한 밀도의 존재성 및 정칙성에 대한 기준을 제공하며, 부울로-히르슈 기준과 고전적 마리아비안 기준을 연결한다.
• 통합적 추상 프레임워크를 통한 부분적 통합 공식을 활용하여 점프 유형의 확률미분방정식으로 이러한 결과를 확장한다.
• 조각적 결정적 마르코프 과정의 구체적 예를 통해 프레임워크의 적용 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 유한차원 노이즈에 대한 함수에 대한 적분 by parts 공식을 기반으로 한 추상적 마리아비안 유형 프레임워크를 사용하며, 고전적 위너 공간 미적분을 일반화한다.
• F - G의 마리아비안-소볼레프 노름을 적용하여 F와 G의 밀도 사이의 L¹-거리 추정을 하며, 노이즈 차원에 관계없이 일정한 상수를 사용한다.
• 비가우시안, 점프-확산 맥락에서 리에즈 변환과 적분 by parts 공식의 일반화를 구현한다.
• 마리아비안 공분산 행렬 σ_F의 최소 고유값에 대한 하한을 통해 비퇴도성 조건을 설정하여 절대연속성을 보장한다.
• 시간에 따라 변화하는 포아송 과정과 가중 함수 π_{k,r}를 사용하여 조각적 결정적 마르코프 과정 X̄_t^M에 프레임워크를 적용한다.
• 과정의 모멘트 및 도함수에 대한 [4]의 추정치를 사용하며, 역탄성 흐름 Ŷ_t^M에 대한 균일한 유계성을 증명하여 극한에서의 비퇴도성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 함수에 대한 수열의 분포 수렴이 전체 변화 거리 수렴으로 이르는 조건은 무엇인가?
• RQ2 F - G의 마리아비안-소볼레프 노름은 그들의 확률밀도함수 사이의 L¹-거리 추정에 어떻게 사용될 수 있는가?
• RQ3 마리아비안 공분산 행렬 σ_F는 F의 법칙의 절대연속성과 정칙성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 위너 공간을 초월하여 점프 유형 과정, 예를 들어 포아송 노이즈를 가진 SDE의 해와 같은 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 밀도 도함수의 수렴이 법칙의 수렴과 함께 이루어지도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 p ≥ 1에 대해 D^{3,p}에서 유계인 수열 F_n이 약한 비퇴도성 조건(2.33) 하에 전체 변화 거리 수렴을 한다.
• F_n → F in L², D^{3,p}에서 유계이며, det σ_F > 0 거의 확실히 성립할 경우, F_n → F in 전체 변화 거리이다.
• F ∈ D^{2,p}이며 p > d 이고 P(det σ_F > 0) > 0 이면, σ_F > 0 조건 하에서 F의 법칙은 절대연속적이며, 하한 반연속 밀도를 가진다.
• 밀도는 르베그 측도에 의해 국소적으로 아래에서 유계이며, 이는 국소 절대연속성과 정칙성을 의미한다.
• 점프 유형 SDE 예시에서는 가중 점프 강도의 합에 대한 하한을 통해 비퇴도성이 보장되며, P(det σ_{X̄_t^M} ≤ ε) → 0 (ε → 0) 이며, M에 대해 균일하다.
• 조각적 결정적 마르코프 과정의 구체적 예에서는 θ > 0 이고 p < θt 일 때 비퇴도성 조건이 성립함을 입증하였다.