[논문 리뷰] On the dynamics of mean-field equations for stochastic neural fields with delays

Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 11.

Neural dynamics and brain function참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 화성율 뉴런에서 지연을 고려한 확률적 신경장 방정식의 역학을 조사하며, 해의 가우시안 성격 덕분에 복잡한 평균장 방정식이 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 정확한 지연 적분미분방정식으로 축소됨을 보여준다. 주요 기여는 내재된 소음의 비선형적 통합으로, 이는 소음 강도가 후속 허프 분기 현상을 유도하고 복잡한 시공간 패턴, 예를 들어 파동 및 복합체 분열을 유도함을 드러낸다.

ABSTRACT

The cortex is composed of large-scale cell assemblies sharing the same individual properties and receiving the same input, in charge of certain functions, and subject to noise. Such assemblies are characterized by specific space locations and space-dependent delayed interactions. The mean-field equations for such systems were rigorously derived in a recent paper for general models, under mild assumptions on the network, using probabilistic methods. We summarize and investigate general implications of this result. We then address the dynamics of these stochastic neural field equations in the case of firing-rate neurons. This is a unique case where the very complex stochastic mean-field equations exactly reduce to a set of delayed differential or integro-differential equations on the two first moments of the solutions, this reduction being possible due to the Gaussian nature of the solutions. The obtained equations differ from more customary approaches in that it incorporates intrinsic noise levels nonlinearly and make explicit the interaction between the mean activity and its correlations. We analyze the dynamics of these equations, with a particular focus on the influence of noise levels on shaping the collective response of neural assemblies and brain states. Cascades of Hopf bifurcations are observed as a function of noise amplitude, for noise levels small enough, and delays, in a finite-population system. The presence of spatially homogeneous solutions in law is discussed in different non-delayed neural fields and an instability, as noise amplitude is varied, of the homogeneous state, is found. In these regimes, very complex irregular and structured spatio-temporal patterns of activity are exhibited including in particular wave or bump splitting.

연구 동기 및 목표

• 소음과 공간적으로 지연된 상호작용을 받는 대규모 신경 집합의 집단적 역학을 이해하기 위해.
• 내재된 소음 수준이 지연된 평균장 모델에서 신경 집단의 반응에 비선형적으로 영향을 주는 방식을 조사하기 위해.
• 다양한 소음 및 지연 매개변수에서 균일한 활동 상태의 안정성과 복잡한 시공간 패턴의 발생을 분석하기 위해.
• 화성율 뉴런에 대한 확률적 평균장 방정식을 모멘트 방정식으로 엄밀히 축소하는 것.

제안 방법

• 연구는 미묘한 네트워크 가정 하에 확률적 방법을 사용하여 지연이 있는 확률적 신경장에 대한 엄밀한 평균장 방정식을 유도한다.
• 화성율 뉴런에 초점을 맞추며, 해의 가우시안 성격 덕분에 전체 확률적 방정식이 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 지연 적분미분방정식의 시스템으로 정확히 축소됨을 가능하게 한다.
• 이러한 모멘트 방정식의 역학은 분기 이론을 사용하여 분석되며, 특히 소음 강도와 지연을 함수로 하는 허프 분기 현상에 초점을 맞춘다.
• 법에 대한 공간적으로 균일한 해의 안정성과 파동 및 복합체 분열과 같은 구조적이고 비정규적인 패턴의 발생을 분석한다.
• 수치적 및 분석적 기법을 적용하여 소음이 집단적 뇌 상태와 패턴 형성에 미치는 영향을 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내재된 소음은 지연된 확률적 신경장에서 대규모 신경 집합의 집단적 역학에 비선형적으로 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 지연과 소음 강도는 유한 인구 수 시스템에서 허프 분기를 어떻게 유도하는가?
• RQ3 법에 대한 균일한 상태가 어떤 조건에서 불안정해지며, 이로 인해 패턴 형성이 발생하는가?
• RQ4 소음과 지연은 어떻게 함께 작용하여 복잡한 시공간 패턴, 예를 들어 파동 또는 복합체 분열의 발생을 이끌어내는가?

주요 결과

• 소음 강도가 증가함에 따라 소음 수준이 충분히 낮을 경우 후속 허프 분기 현상이 관찰되며, 이는 진동하는 집단적 활동의 발생을 시사한다.
• 소음 강도를 변화시킬 때 법에 대한 균일한 상태가 불안정해지며, 이로 인해 복잡하고 비정규적이며 구조적인 시공간 패턴이 발생한다.
• 파동 및 복합체 분열 현상은 시스템 내 소음 유도 불안정성의 직접적 결과로 관찰된다.
• 화성율 뉴런의 경우 해의 가우시안 성격 덕분에 전체 확률적 평균장 방정식을 모멘트 방정식으로의 축소가 정확히 이루어진다.
• 유도된 방정식은 평균 활동과 그 상관관계 간의 비선형 상호작용을 명시적으로 캡처하며, 기존 접근과의 차별성을 드러낸다.