[논문 리뷰] On the Effective Putinar's Positivstellensatz and Moment Approximation

Lorenzo Baldi, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 22.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 26인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 기본 준대수집합 위에서 Putinar의 Positivstellensatz에 대한 처음으로 다항식 차수 경계를 제공하며, 긍정성 증명의 차수를 측정하기 위해 새로운 Łojasiewicz 지수를 도입한다. Lasserre의 모멘트-SOS 계층 구조에 대한 처음으로 일반적인 다항식 수렴 속도 경계를 확립하고, Łojasiewicz 지수가 1이 되는 제약 조건을 만족시키는 조건 하에서, 잘린 확률 측도와 가짜모멘트 수열 사이의 하우스도르프 거리에 대한 처음으로 경계를 제시한다.

ABSTRACT

We analyse the representation of positive polynomials in terms of Sums of Squares. We provide a quantitative version of Putinar's Positivstellensatz over a compact basic semialgebraic set S, with a new polynomial bound on the degree of the positivity certificates. This bound involves a Lojasiewicz exponent associated to the description of S. We show that if the gradients of the active constraints are linearly independent on S (Constraint Qualification condition),this Lojasiewicz exponent is equal to 1. We deduce the first general polynomial bound on the convergence rate of the optima in Lasserre's Sum-of-Squares hierarchy to the global optimum of a polynomial function on S, and the first general bound on the Hausdorff distance between the cone of truncated (probability) measures supported on S and the cone of truncated pseudo-moment sequences, which are positive on the quadratic module of S.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 기본 준대수집합 위에서 다항식이 양수임을 증명하기 위한 긍정성 증명의 차수에 대한 효과적이고 정량적인 경계를 제공하는 것.
• 전역 다항식 최적화 문제에 대한 Lasserre의 모멘트-SOS 계층 구조의 수렴 속도에 대한 처음으로 일반적인 다항식 경계를 확립하는 것.
• 컴팩트 집합 위에 지지된 잘린 확률 측도와 모멘트 계층에서의 잘린 양의 가짜모멘트 수열 사이의 하우스도르프 거리에 대한 경계를 유도하는 것.
• 준대수집합의 기하학적 구조와 관련된 Łojasiewicz 지수를 분석하고, 제약 조건 충족 조건 하에서 이 지수가 정확히 1이 됨을 보이는 것.
• 효율적인 긍정성 증명과 모멘트 근사의 적용 범위를 일반 다항식 최적화 문제와 일반화된 모멘트 문제로 확장하는 것.

제안 방법

• 거리와 제약 조건의 대수적 차수 간의 관계를 측정하는 새로운 Łojasiewicz 지수를 도입하여, 이 지수를 긍정성 증명의 차수와 연결하는 것.
• 제약 조건 충족 조건(CQC) 하에서 Łojasiewicz 지수가 정확히 1임을 증명하여 경계를 단순화하고 다항식 수렴 속도를 가능하게 하는 것.
• 이차 모듈러의 아르히메데스 성질을 이용하여 컴팩트성을 확보하고 모멘트 기반 최적화 계층을 가능하게 하는 것.
• 선형 함수형의 노름 추정을 통해 잘린 확률 측도의 코너와 잘린 양의 가짜모멘트 수열의 코너 사이의 하우스도르프 거리에 대한 경계를 개발하는 것.
• 모멘트 행렬의 성질과 프로베니우스 노름 경계를 활용하여 잘린 선형 함수형의 연산자 노름을 제어하는 것.
• 이 경계들을 적용하여 Lasserre의 계층에서 원래 문제(다항식 최적화)와 쌍대 문제(모멘트 근사) 양쪽의 수렴 속도를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 기본 준대수집합 위에서 다항식의 양수성을 증명하기 위해 필요한 최소 차수의 제곱합 표현은 어떤지, 이는 내재된 기하학적 매개변수에 따라 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 Lasserre의 모멘트-SOS 계층 구조가 컴팩트 기본 준대수집합 위의 다항식의 전역 최적해로 수렴하는 속도는 얼마나 빠른가? 이 수렴 속도는 계층 수준과 문제 데이터에 대해 다항식으로 경계될 수 있는가?
• RQ3 잘린 가짜모멘트 수열이 컴팩트 집합 위에 지지된 실제 확률 측도의 모멘트 수열로 수렴하는 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 준대수집합의 Łojasiewicz 지수가 Putinar의 Positivstellensatz에서의 차수 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 잘린 확률 측도의 코너와 양의 가짜모멘트 수열의 외부 근사 코너 사이의 하우스도르프 거리에 대해 효과적인 경계를 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 컴팩트 기본 준대수집합 위에서 다항식의 전역 최적해로 수렴하는 Lasserre의 모멘트-SOS 계층 구조에 대한 처음으로 일반적인 다항식 수렴 속도 경계를 확립한다.
• 제약 조건 충족 조건 하에서 Łojasiewicz 지수가 정확히 1임을 증명하여, Putinar의 Positivstellensatz에서의 차수 경계를 단순화하고 강화한다.
• 잘린 확률 측도와 양의 가짜모멘트 수열 사이의 하우스도르프 거리에 대한 새로운 경계를 도출하였으며, 이 경계는 잘림 차수와 Łojasiewicz 지수에 명시적인 의존성을 갖는다.
• 모멘트 계층의 수렴 속도 경계는 잘림 차수 t와 오차 ε의 역수에 대해 다항식으로 표현되며, 지수는 2.5nŁ이며, 여기서 Ł은 Łojasiewicz 지수이다.
• Ł=1인 경우(즉, CQC 조건을 만족할 경우), 수렴 속도 경계는 t와 ε−1에 대해 다항식으로 단순화되며, 구체적으로 O(t^{3.5n} \binom{n+t}{t}^{5n/4} ε^{-2.5n})로 표현된다.
• 결과적으로 다항식 최적화 문제의 원래 문제와 쌍대 문제 양쪽에 대해 효과적이고 계산 가능한 경계를 제공하여, 세미정규 프로그래밍 이완의 수렴 분석을 정량적으로 가능하게 한다.