[논문 리뷰] On the Erd\H{o}s Covering Problem: the density of the uncovered set

Paul Balister, Béla Bollobás외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 08.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 덮개에서 덮히지 않은 집합의 밀도를 유 bounds하는 데 새로운 방법을 도입함으로써 오랫동안 남아 있던 덮개 시스템 이론의 추측을 해결한다. 만약 모듈러스가 충분히 크고, 특정 곱셈 함수 μ를 포함하는 가중치가 부여된 역수 합 조건을 만족한다면, 덮히지 않은 밀도는 $ e^{-4C}/2 $ 이하로 유 bounds되며, 이는 1967년 슈인젤의 추측을 증명하고, 에르되시–그라함 유형의 경계를 최적 조건으로 개선한다.

ABSTRACT

Since their introduction by Erd\\H{o}s in 1950, covering systems (that is, finite collections of arithmetic progressions that cover the integers) have been extensively studied, and numerous questions and conjectures have been posed regarding the existence of covering systems with various properties. In particular, Erd\\H{o}s asked if the moduli can be distinct and all arbitrarily large, Erd\\H{o}s and Selfridge asked if the moduli can be distinct and all odd, and Schinzel conjectured that in any covering system there exists a pair of moduli, one of which divides the other. Another beautiful conjecture, proposed by Erd\\H{o}s and Graham in 1980, states that if the moduli are distinct elements of the interval $[n,Cn]$, and $n$ is sufficiently large, then the density of integers uncovered by the union is bounded below by a constant (depending only on $C$). This conjecture was confirmed (in a strong form) by Filaseta, Ford, Konyagin, Pomerance and Yu in 2007, who moreover asked whether the same conclusion holds if the moduli are distinct and sufficiently large, and $\\sum_{i=1}^k \\frac{1}{d_i} < C$. Although this condition turns out not to be sufficiently strong to imply the desired conclusion, as the main result of this paper we will give an essentially best possible condition which is sufficient. Our method has a number of further applications. Most importantly, we prove the conjecture of Schinzel stated above, which was made in 1967. We moreover give an alternative (somewhat simpler) proof of a breakthrough result of Hough, who resolved Erd\\H{o}s' minimum modulus problem, with an improved bound on the smallest difference. Finally, we make further progress on the problem of Erd\\H{o}s and Selfridge.

연구 동기 및 목표

• 1967년 슈인젤의 추측을 해결하는 것: 서로 다른 모듈러스를 가진 모든 덮개 시스템에서 한 모듈러스가 다른 하나를 나눈다는 것.
• 덮개 시스템에서 덮히지 않은 집합의 밀도에 대한 양의 하한을 보장하는 모듈러스에 대한 최적 조건을 규명하는 것.
• 에르되시–그라함 추측을 개선하여, 가중치가 부여된 합 $ \sum \mu(d)/d $ 에 대한 조건을 특정하여 덮히지 않은 밀도에 대한 균일한 하한을 확보하는 것.
• 덮개 시스템에서 덮히지 않은 집합의 밀도를 분석하는 데 적용 가능한 간단하고 강력한 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 내부 잔여환에 대한 산술 등차수열의 재귀적 트리 구조를 구성하며, 각 단계에서 철저히 선택된 큰 소수를 사용한다.
• 모듈러스에 가중치를 주기 위해 곱셈 함수 $ \mu(p^i) = 1 + (\log p)^{3+\varepsilon}/p $ 를 정의하여, 합 $ \sum \mu(d)/d \leq C $ 를 확보하면서 덮히지 않은 밀도를 제어한다.
• 소수에 대한 곱의 추정치를 이용한 확률론적 경계를 통해, 깊이 $ n \to \infty $ 일 때 밀도가 $ e^{(2-t)n} $ 으로 감소함을 보이며, 조건이 통제된 상태에서 이를 증명한다.
• 포함-배제 원리와 오일러 곱 추정치를 적용하여, 각 단계에서 덮히지 않은 잔여류의 밀도를 유 bounds한다.
• 총합 $ \sum \mu(d)/d \leq 2t^2 $ 를 확립하며, $ t \in (1, e) $ 이므로 임의의 $ C $ 에 대해 조건이 만족됨을 보이고, 최종 경계 $ e^{-4C}/2 $ 를 유도한다.
• 허프의 최소 모듈러스 문제에 대한 방법을 변형하고 단순화하여, 밀도와 나눗셈 구조에 대해 더 강력한 결론을 이끌어내는 데 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 부여된 합 $ \sum \mu(d)/d \leq C $ 를 만족할 때, 특정 곱셈 함수 $ \mu $ 에 의해 정의된 조건만으로 덮개 시스템에서 덮히지 않은 집합의 밀도에 하한을 보장할 수 있는가?
• RQ2 서로 다른 모듈러스를 가진 모든 덮개 시스템은 반드시 한 모듈러스가 다른 하나를 나누는 쌍을 포함하는가? (슈인젤의 추측)
• RQ3 에르되시–그라함 조건이 $[n, Cn]$ 범위의 모듈러스에 대해 덮히지 않은 밀도에 대한 양의 하한을 보장하는 데 필수적이고 충분한가?
• RQ4 최소 모듈러스 문제를 해결하는 데 사용된 방법을 변형하여 덮히지 않은 집합의 밀도에 대해 더 강력한 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 덮개 시스템의 모듈러스에 대해 덮히지 않은 집합의 밀도에 대한 균일한 하한을 보장하는 데 최적의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 슈인젤의 추측을 증명한다: 서로 다른 모듈러스를 가진 모든 덮개 시스템에서 한 모듈러스가 다른 하나를 나눈다.
• 모듈러스가 충분히 크고 $ \sum \mu(d)/d \leq C $ 를 만족할 경우, 덮히지 않은 집합의 밀도에 대해 날카로운 하한 $ e^{-4C}/2 $ 를 확립한다. 여기서 $ \mu(p^i) = 1 + (\log p)^{3+\varepsilon}/p $ 이다.
• 모듈러스가 임의로 크고 $ \sum 1/d_i < 1 $ 를 만족하는 덮개 시스템의 수열을 구성하였지만, 덮히지 않은 밀도는 0으로 수렴함을 보여, 역수 합 조건만으로는 부족함을 입증한다.
• 만약 $ \mu(p^i) $ 가 $ 1 + O(1/p) $ 로 대체된다면, $ C $ 에만 의존하는 그러한 하한이 존재하지 않음을 보이며, 본 연구에서 선택한 함수의 날카로움을 입증한다.
• 허프의 최초의 돌파구 결과에 대한 더 단순한 증명을 제공하며, 서로 다른 모듈러스를 가진 덮개 시스템에서 최소 모듈러스에 대한 개선된 경계를 도출한다.
• 이 방법은 에르되시–셀프리지 문제에 대해 새로운 진전을 이끌어내며, 모듈러스가 크고 가중치가 부여된 역수 합이 유 bounds되어 있을 경우 덮개 시스템의 모듈러스 구조는 매우 제약이 있음을 보여준다.