[논문 리뷰] On the Erdos Discrepancy Problem

Ronan Le Bras, Carla P. Gomes외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 15.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 길이 127,646 이상인 완전 곱셈적 수열은 반드시 불일치 수치가 4 이상이어야 하며, 이는 완전 곱셈적 수열에 대한 에르되시 불일치 추측을 불일치 수치 3까지 확인한 것이다. 이는 날카운 하한을 확립하고, 기존의 불일치 수치 3에 대한 최장 수열 길이를 17,000에서 127,645로 늘여, 귀납적 구성과 최적화 기법을 활용하였다.

ABSTRACT

According to the Erd˝ os discrepancy conjecture, for any infi nite ±1 sequence, there exists a homogeneous arithmetic progression of unbounded dis- crepancy. In other words, for any ±1 sequence (x1,x2,...) and a discrepancy C, there exist integers m and d such that | Pm=1 xi·d| > C. This is an 80-year-old open problem and recent development proved that this conjecture is true for dis- crepancies up to 2. Paul Erd˝ os also conjectured that this property of unbounded discrepancy even holds for the restricted case of completely multiplicative se- quences (CMSs), namely sequences (x1,x2,...) where xa·b = xa · xb for any a,b � 1. The longest CMS with discrepancy 2 has been proven to be of size 246. In this paper, we prove that any completely multiplicative sequence of size 127, 646 or more has discrepancy at least 4, proving the Erd˝ os discrepancy con- jecture for CMSs of discrepancies up to 3. In addition, we prove that this bound is tight and increases the size of the longest known sequence of discrepancy 3 from 17,000 to 127,645. Finally, we provide inductive construction rules as well a s streamlining methods to improve the lower bounds for sequences of higher dis- crepancies.

연구 동기 및 목표

• 완전 곱셈적 수열에 대한 에르되시 불일치 추측을 불일치 수치 3까지 확인하는 것.
• 불일치 수치 3인 완전 곱셈적 수열의 최대 길이에 대한 가장 날카로운 하한을 도출하는 것.
• 귀납적 구성과 최적화 기법을 활용하여 더 높은 불일치 수치에 대한 기존 하한을 향상시키는 것.

제안 방법

• 완전 곱셈적 수열을 체계적으로 생성하고 검증하기 위해 귀납적 구성 규칙을 적용하였다.
• 비가능한 수열을 제거하고 불일치 제약 조건 하에 길이를 최적화하기 위해 최적화 기법을 적용하였다.
• 127,646 이상의 길이를 가진 완전 곱셈적 수열이 불일치 수치 3을 가질 수 없음을 확인하기 위해 계산적 검증을 실시하였다.
• 균일한 산술적 등차수열을 분석하여 완전 곱셈적 수열에서의 불일치 증가를 평가하였다.
• 이전 결과를 기반으로 하여 불일치 수치 2인 완전 곱셈적 수열의 최대 길이가 246임을 입증하였다.
• 불일치 수치 2에서 3으로의 경계를 연장하기 위해, 크기가 127,646 이상인 수열은 반드시 불일치 수치 3을 초과해야 한다는 것을 증명하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불일치 수치 3인 완전 곱셈적 수열의 최대 길이는 얼마인가?
• RQ2 불일치 수치 4에 대해 127,646의 경계가 완전 곱셈적 수열에서 날카로운가?
• RQ3 귀납적 구성과 최적화 기법은 더 높은 불일치 수치를 가진 수열의 하한을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 불일치 수치가 3 이하일 때, 완전 곱셈적 수열에 대한 에르되시 불일치 추측은 성립하는가?
• RQ5 기존의 경계와 비교해 볼 때, 불일치 수치 3에 대한 알려진 최장 수열 길이는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 불일치 수치 2인 완전 곱셈적 수열의 최대 길이가 246임이 확인되었다.
• 크기가 127,646 이상인 완전 곱셈적 수열은 반드시 불일치 수치가 4 이상이어야 하며, 이는 불일치 수치 3까지의 추측을 증명한다.
• 127,646의 경계는 날카로우며, 불일치 수치 3인 더 긴 수열은 존재하지 않는다.
• 불일치 수치 3인 완전 곱셈적 수열의 최장 길이가 기존의 17,000에서 127,645로 증가하였다.
• 귀납적 구성 규칙과 최적화 기법은 더 높은 불일치 수치를 가진 수열의 하한을 효과적으로 향상시켰다.
• 결과적으로, 완전 곱셈적 수열에 대한 에르되시 불일치 추측이 불일치 수치 3까지 성립함을 확인하였다.