[논문 리뷰] On the exceptional zeros of $p$-non-ordinary $p$-adic $L$-functions and a conjecture of Perrin-Riou

Denis Benois, Kâzım Büyükboduk|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 형식의 $p$-비일반적인 $p$-진 $L$-함수에 대해 두 변수 $p$-진 베일린슨 공식을 수립하며, 중심 임계점에서 $p$-진 $L$-함수의 두 번째 도함수를 확장된 트라이앵귤린 세이머 그룹 위의 $p$-진 정규화와 연결한다. 이는 페리에-루아의 추측의 개선된 형태를 증명하고, $p$-진 높이 쌍화와 콜레먼 가족을 이용하여 해석적 계수가 1인 경우의 예외적 영점에 대한 공식을 제공한다.

ABSTRACT

Our goal in this article is to prove a form of $p$-adic Birch and Swinnerton-Dyer formula for the second derivative of the $p$-adic $L$-function associated to a newform $f$ which is non-crystalline semistable at $p$ at its central critical point, by expressing this quantity in terms of a $p$-adic (cyclotomic) regulator defined on an extended trianguline Selmer group. We also prove a two-variable version of this result for height pairings we construct by considering infinitesimal deformations afforded by a Coleman family passing through $f$. This, among other things, leads us to a proof of an appropriate version of Perrin-Riou's conjecture in this set-up.

연구 동기 및 목표

• 짝수 차수의 비일반적이고 $p$-스테이블인 새로운 형식에 대응하는 $p$-진 $L$-함수의 두 번째 도함수에 대한 $p$-진 버치와 스위너튼-다이어 공식을 증명하기 위해.
• 콜레먼 가족을 통한 무한소 변형을 통해 두 변수 $p$-진 높이 쌍화를 구축하여, 2차 형식에서의 결과를 고차수로 확장하기 위해.
• 비일반적 상황에서의 예외적 영점에 대한 페리에-루아의 추측의 개선된 형태를 증명하기 위해.
• $p$-진 $L$-함수의 영점의 차수와 히그너 사이클의 $p$-진 아벨-자코비 상의 비영점성, 그리고 베일린슨-카토 클래스 사이의 관계를 규명하기 위해.
• 이전의 2차 형식 및 일반적 경우의 결과를 확장하여, 비일반적 경우로의 베일린슨-카토 공식을 일반화하기 위해.

제안 방법

• $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 이론과 이와사와 코homology를 이용하여 확장된 트라이앵귤린 세이머 그룹 위에서 $p$-진 높이 쌍화를 구성한다.
• 새로운 형식 $f$를 통과하는 콜레먼 가족 $\mathbf{f}$를 이용하여 두 변수 $p$-진 $L$-함수를 정의하고 그 도함수를 연구한다.
• 두 변수 페리에-루아 로그를 적용하여 $p$-진 $L$-함수의 두 번째 도함수를 $p$-진 정규화와 국소 코hom로 클래스와 연결한다.
• 블로흐–카토 세이머 복합체와 쌍대성을 이용하여 $p$-진 높이 쌍화를 정의하고 그 비퇴화성 분석을 수행한다.
• 일반화된 그로스–자지에르–장 공식을 통해 베일린슨-카토 클래스와 히그너 사이클의 $p$-진 아벨-자코비 상 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 아미세–베루–마닌–비샤이크 형식의 $p$-진 $L$-함수 이론을 활용하고, $\mathfrak{L}_p$-함수를 통해 베일린슨-카토 원소와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비일반적이고 $p$-스테이블인 새로운 형식의 중심 임계점에서의 $p$-진 $L$-함수의 두 번째 도함수에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ2 $p$-진 $L$-함수의 영점 차수와 히그너 사이클의 $p$-진 아벨-자코비 상의 비영점성 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 콜레먼 가족을 통해 비일반적 상황에서의 예외적 영점을 연구하기 위해 두 변수 $p$-진 높이 쌍화를 구성할 수 있는가?
• RQ4 $p$-진 높이 쌍화의 비퇴화성은 $p$-진 $L$-함수의 영점 차수에 대해 어느 정도의 함의를 갖는가?
• RQ5 베일린슨-카토 클래스는 비일반적 상황에서의 예외적 영점 현상을 탐지할 수 있으며, 이는 $p$-진 $L$-함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 중앙 임계점 $s=k/2$에서의 $p$-진 $L$-함수 $L_{p,\alpha}(f,\omega^{k/2},s)$의 두 번째 도함수는 확장된 트라이앵귤린 세이머 그룹 위의 $p$-진 정규화와 $\mathscr{A}_N(k,0)$ 및 $\Gamma(k/2)$를 포함한 산술적 불변량들의 곱으로 표현된다.
• 해석적 계수가 $r_{\textup{an}}(f) = 1$일 경우, $p$-진 $L$-함수의 영점 차수는 $s=k/2$에서 정확히 2이다. 이는 히그너 사이클의 $p$-진 아벨-자코비 상이 비영일 조건 하에 성립한다.
• 비퇴화된 $p$-진 높이 쌍화를 가정할 경우, $\textup{res}_p([z_f^{\textup{BK}}])$의 비영점성은 $p$-진 $L$-함수의 이중 영점과 동치이다.
• 논문은 페리에-루아의 추측의 고차수, $p$-스테이블 해석판을 확인하였으며, 복소 $L$-함수가 차수 1로 영이 되는 경우 $p$-진 $L$-함수가 차수 2의 예외적 영점을 가짐을 보였다.
• 제곱된 $p$-진 아벨-자코비 상과 $\mathfrak{L}_p$-함수의 두 번째 도함수 사이의 공식은 식 (7.9)에 명시되어 있으며, 이는 $a(k)$, $\mathscr{A}_N(k,0)$, $\Gamma(k/2)$를 포함한다.
• 타테-샤파레비치 군의 유한성과 $\mathcal{L}$-불변량의 비영점성을 가정할 경우, 이 결과는 펠레르추키의 2차 형식 결과를 회복하고 확장한다.