[논문 리뷰] On the existence of 0/1 polytopes with high semidefinite extension complexity

Jop Briët, Daniel Dadush외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 14.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 13인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 0/1 다면체의 존재성을 증명하며, 이들의 준형식 확장 복잡도가 지수적으로 높다는 것을 보이며, 정수 다각형의 가족을 구성함으로써 이들의 준형식 확장 복잡도가 Ω((d/log d)^{1/4})로 증가함을 보여준다. 여기서 d는 정점의 수이다. 증명은 준형식 분해에 대한 새로운 스케일링 기법과 수의 제한된 분해 수를 유도하기 위한 일반화된 반올림 보조정리에 기반한다. 이에 따라, 이러한 다면체에 사영하는 모든 스펙트라헤드론은 최악의 경우 차원 2^{Ω(n)}을 가져야 한다.

ABSTRACT

In Rothvoß it was shown that there exists a 0/1 polytope (a polytope whose vertices are in \{0,1\}^{n}) such that any higher-dimensional polytope projecting to it must have 2^{Ω(n)} facets, i.e., its linear extension complexity is exponential. The question whether there exists a 0/1 polytope with high PSD extension complexity was left open. We answer this question in the affirmative by showing that there is a 0/1 polytope such that any spectrahedron projecting to it must be the intersection of a semidefinite cone of dimension~2^{Ω(n)} and an affine space. Our proof relies on a new technique to rescale semidefinite factorizations.

연구 동기 및 목표

• Rothvoß의 선형 확장 복잡도에 대한 지수적 결과를 바탕으로, 0/1 다면체의 높은 준형식 확장 복잡도를 갖는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 선형 프로그래밍에서의 확장 형식 프레임워크를 준형식 프로그래밍으로 확장하기 위해, 준형식 확장 복잡도에 대해 강력한 하한을 증명하기 위해.
• 초다항식 PSD 확장 복잡도를 갖는 다면체를 구성할 수 있도록 하는 새로운 준형식 분해를 위한 스케일링 방법을 개발하기 위해.
• 선형 확장 복잡도에서 사용된 수세기 기반 하한 기법을 준형식 설정으로 일반화하고, 스펙트라헤드론 표현을 다룰 수 있도록 조정하기 위해.
• 0/1 다면체에 대해 선형과 준형식 확장 형식 간의 복잡도 격차가 최악의 경우에도 유지되는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 정점 좌표가 유한한 0/1 다면체의 슬랙 행렬에 대한 가능한 준형식 분해 수를 제한하기 위해 일반화된 반올림 보조정리(보조정리 3)를 적응하여 사용한다.
• 임의의 준형식 분해를 유한한 유리수 성분을 갖는 것으로 변환하기 위해 스케일링 기법을 사용한다. 이는 수의 기반 기법을 가능하게 한다.
• 좌표가 [2d]×[4d²] 내에 있는 d각형을 나타내는 데 가능한 서로 다른 선형 및 준형식 제약 조건의 조합 수를 세는 기법을 적용한다.
• 이러한 조합 수의 상한을 (cd¹⁴)^{(3+R²)²}로 설정하며, 여기서 R은 준형식 확장 복잡도이다. 이는 R에 대한 하한을 이끌어낸다.
• 크기 d인 볼록 독립 집합으로부터 형성된 서로 다른 d각형의 수가, 작은 인수 분해 가능한 시스템의 수를 초과하므로, R이 크다는 것을 강제한다.
• 준형식 확장 복잡도의 지표로 슬랙 행렬의 준형식 랭크를 사용하며, 이는 스펙트라헤드론 확장으로의 Yannakakis 정리의 일반화에 따라 따른다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원에 대해 지수적으로 높은 준형식 확장 복잡도를 갖는 0/1 다면체가 존재하는가?
• RQ2 선형 확장 복잡도에 사용된 수세기 기반 하한 기법을 준형식 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 준형식 분해를 체계적으로 스케일링하여, 준형식 케이스에서 조합적 수세기 기법을 적용할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ4 0/1 다면체의 준형식 확장 복잡도는 선형 확장 복잡도보다 더 빠르게 증가하는가?
• RQ5 다각형에 대한 준형식 확장 복잡도의 하한을 더 격자형으로 만들거나, 정확한 하한임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 정점 좌표가 [2d]×[4d²] 내에 있는 0/1 다면체(특히 d각형)의 준형식 확장 복잡도는 Ω((d/log d)^{1/4})이다.
• 이러한 다각형의 슬랙 행렬에 대한 서로 다른 준형식 분해 수는 (cd¹⁴)^{(3+R²)²} 이하로 제한된다. 여기서 R은 확장 복잡도이다.
• 수세기 기반 기법은 R ≥ c′(d/log d)^{1/4}를 의미하며, 이는 초다항식 하한을 확립한다.
• 구성은, 다면체에 사영하는 모든 스펙트라헤드론이 2^{Ω(n)} 차원의 준형식 원뿔과 약한 평행 평면과 교차해야 한다는 것을 증명한다.
• 결과적으로, 0/1 다면체에 대해 준형식 확장 복잡도가 지수적으로 높을 수 있음을 확인하며, 이는 Rothvoß의 선형 확장 복잡도 결과와 유사하다.
• 논문은 준형식 분해에 대한 새로운 스케일링 기법을 도입하여, 조합적 수세기 기법을 준형식 확장 복잡도에 적용할 수 있도록 하였다.