[논문 리뷰] On the first time that an Ito process hits a barrier

Gerardo Hernández‐del‐Valle|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 버거스 방정식의 해를 통해 국소적 드리프트를 모델링한 이토 과정의 첫 번째 도달 시간 밀도 공식을 유도한다. 특히, 이동 경계에 도달할 때의 3D 베셀 과정과 브라운 운동 브리지와 같은 $\mathcal{B}^1$ 클래스 과정에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 드리프트 구조에 기반한 이러한 과정의 분류 및 $h$-변환과 열 다항식을 사용하여 유계 및 비유계 상태공간 설정에서의 첫 번째 통과 시간 밀도를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

This work deals with first hitting time densities of Ito processes whose local drift can be modeled in terms of a solution to Burgers equation. In particular, we derive the densities of the first time that these processes reach a moving boundary. We distinguish two cases: (a) the case in which the process has unbounded state space before absorption, and (b) the case in which the process has bounded state space before absorption. The reason as to why this distinction has to be made will be clarified. Next, we classify processes whose local drift can be expressed as a linear combination to solutions of Burgers equation. For example the local drift of a Bessel process of order 5 can be modeled as the sum of two solutions to Burgers equation and thus will be classified as of class $\mathcal{B}^2$. Alternatively, the Bessel process of order 3 has a local drift that can be modeled as a solution to Burgers equation and thus will be classified as of class $\mathcal{B}^1$. Examples of diffusions within class $\mathcal{B}^1$, and hence those to which the results described within apply, are: Brownian motion with linear drfit, the 3D Bessel process, the 3D Bessel bridge, and the Brownian bridge.

연구 동기 및 목표

• 이토 과정의 국소적 드리프트가 버거스 방정식의 해를 통해 모델링될 때, 이 과정이 이동 경계에 도달하는 첫 번째 도달 시간의 정확한 밀도를 도출하는 것.
• 드리프트가 버거스 방정식의 해의 합으로 표현될 수 있는지 여부에 따라 확률적 과정을 체계적으로 분류하고, $\mathcal{B}^k$ 분류를 도입하는 것.
• 유계 상태공간과 비유계 상태공간 설정에서 동일한 드리프트 구조를 가진 과정의 첫 번째 도달 시간 행동을 구분하는 것.
• 열 다항식과 3D 베셀 과정 및 브리지와 같은 주요 확산 과정의 드리프트 구조 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 열 다항식 구성에서 $\mathcal{B}^2$에 속하지만 同시에 $\mathcal{B}^1$에도 속하는 유일한 과정이 3D 베셀 브리지임을 보여주는 것.

제안 방법

• 도브의 $h$-변환을 사용하여 측도를 재가중하고, 표준 브라운 운동에서 원래 측도 하의 기대값을 도출한다.
• 역열 방정식의 해를 포함하는 마틴갈레 표현에 이토의 보조정리를 적용한다.
• 특정 드리프트 성질을 가진 $h$-함수를 구성하기 위해 열 다항식 $v_n(x,t)$ 와 유도된 열 다항식 $w_n(x,t)$ 를 사용한다.
• 역열 방정식 $-h_t = \frac{1}{2}h_{xx}$ 를 기반으로 하여 원하는 드리프트를 생성하는 $h$-변환을 구성한다.
• 드리프트에 포함된 버거스 방정식의 해의 수 $k$에 따라 과정을 분류하고, $\mathcal{B}^k$ 클래스를 정의하며, $\mathcal{B}^1$에는 드리프트가 있는 브라운 운동과 베셀 과정이 포함된다.
• $w_n(x,t)$ 와 $v_n(x,t)$ 의 구조를 분석하여, 변환된 과정의 드리프트를 결정하는 비율 $w_n'(x,t)/w_n(x,t)$ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 버거스 방정식의 해를 통해 유도된 국소적 드리프트를 가진 이토 과정이 이동 경계에 도달할 때의 첫 번째 도달 시간 밀도는 무엇인가요?
• RQ2 드리프트에 포함된 버거스 방정식의 해의 수에 기반하여 확률적 과정을 어떻게 시스템적으로 분류할 수 있나요?
• RQ3 유계 상태공간과 비유계 상태공간 설정에서 동일한 드리프트 구조를 가진 과정의 첫 번째 도달 시간 행동은 무엇으로 구분되나요?
• RQ4 3D 베셀 브리지와 같은 잘 알려진 확산 과정들은 $\mathcal{B}^1$ 또는 $\mathcal{B}^2$ 클래스에 속하는가, 그리고 그들의 고유한 구조적 특성은 무엇인가요?
• RQ5 열 다항식 구성에서 $\mathcal{B}^1$과 $\mathcal{B}^2$에 모두 속하는 유일한 과정이 존재하는가, 만약 그렇다면 그 의미는 무엇인가요?

주요 결과

• 이동 경계가 있는 $\mathcal{B}^1$ 과정의 첫 번째 도달 시간 밀도는 $h$-변환과 열 다항식 구성 방법을 통해 명시적으로 도출되었다.
• 3D 베셀 브리지 과정은 열 다항식 프레임워크 하에서 $\mathcal{B}^1$과 $\mathcal{B}^2$에 모두 속하는 유일한 과정이다. 이는 $w_n(x,t)$ 와 $v_n(x,t)$ 의 구조를 통해 입증되었다.
• 3D 베셀 브리지의 드리프트는 $\frac{w_0'(x,t)}{w_0(x,t)} = -\frac{x}{t}$ 로 표현되며, 이는 버거스 방정식을 만족한다.
• 3D 베셀 과정과 브라운 운동 브리지 모두 $\mathcal{B}^1$로 분류되며, 각각 단일한 버거스 방정식의 해로부터 유래된 드리프트를 가진다.
• 비율 $\frac{w_n'(x,t)}{w_n(x,t)}$ 는 $\frac{w_0'(x,t)}{w_0(x,t)} + \frac{v_n'(x,-t)}{v_n(x,-t)}$ 로 유도되었으며, 이는 드리프트와 열 다항식의 도함수를 연결한다.
• 특히 $n=1$ 일 때 비율 $\frac{w_1'(x,t)}{w_1(x,t)} = -\frac{x}{t} + \frac{1}{x}$ 로 유도되어 3D 베셀 브리지의 드리프트를 확인하고, 그 $\mathcal{B}^1$ 분류의 타당성을 검증한다.