[논문 리뷰] On the generalization of the GMS evolutionary model

Skevi Michael, Stanislav Volkov|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 20.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 GMS 진화 모델을 일반화하여 매 시간 단계에서 한 명의 종이 아니라 i.i.d.인 랜덤 수의 종이 탄생하거나 제거되도록 허용한다. 특정 조건 하에서 생존 종의 적합도가 [f,1] 상에서 균일 분포로 수렴하고, 멸종이 반복될 경우 총 개체수 크기가 재귀적 과정으로 행동함을 증명한다.

ABSTRACT

We study a generalization of the evolution model proposed by Guiol, Machado and Schinazi (arXiv:0909.2108). In our model, at each moment of time a random number of species is either born or removed from the system; the species to be removed are those with the lower fitnesses, fitnesses being some numbers in $[0,1]$. We show that under some conditions, a set of species approaches (in some sense) a sample from a uniform distribution on $[f,1]$ for some $f\in [0,1)$, and that the total number of species forms a recurrent process in most other cases.

연구 동기 및 목표

• 시간 단계당 한 종의 탄생 또는 소멸을 가정하는 GMS 모델을 확장하여, 랜덤 수의 종이 추가되거나 제거될 수 있도록 한다.
• 일반적인 i.i.d. 탄생 및 소멸 과정을 고려할 때 시스템의 장기적 행동을 조사한다.
• 어떤 조건에서 생존 종의 적합도가 어떤 f ∈ [0,1)에 대해 [f,1] 상에서 균일 분포로 수렴하는가를 규명한다.
• 일반화된 모델에서 총 개체수 크기의 재귀성 또는 멸종 성질을 분석한다.

제안 방법

• 모델은 단위 구간 [0,1] 상에서 진화하며, 각 종은 U[0,1]에서 i.i.d.로 추출된 적합도 값을 할당받는다.
• 매 시간 단계에서 확률 p로 Zn개의 신규 종이 추가되며(여기서 Z는 i.i.d.), 확률 q=1−p로 가장 낮은 적합도를 가진 Xn개의 종이 제거된다(여기서 X는 i.i.d.).
• 시스템은 공백에서 시작되며, 개체수는 |Tn+1| = |Tn| + Zn(탄생 시) 또는 max(|Tn| − Xn, 0)(소멸 시)로 갱신되는 스토크래틱 과정을 거친다.
• 강한 대수법칙과 Borel-Cantelli 보조정리를 사용하여 생존 종 집합의 渐近적 행동을 분석한다.
• 핵심 도구로는 R′n(적합도가 [f,1]에 속하는 종), Rnε(시간 n을 초과해 생존한 [f+ε,1]에 속하는 종), 그리고 임계 임계값 pc = μZ / μX의 정의를 사용한다.
• 증명은 μZ와 μX가 유한한지 무한한지에 따라 경우를 나누며, 쌍용(_coupling_) 및 거의 확실 수렴을 이용하여 점근적 행동을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 생존 종의 적합도 집합이 어떤 f ∈ [0,1)에 대해 [f,1] 상에서 균일 분포로 수렴하는가?
• RQ2 탄생 및 소멸 과정의 기대값 μX와 μZ에 따라 시스템의 장기적 행동은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 개체수 과정이 재귀적인지 또는 결국 공백이 되는지를 결정하는 요소는 무엇인가?
• RQ4 기대 탄생 수 μZ가 무한하거나 기대 소멸 수 μX가 무한한 경우에 어떤 일이 일어나는가?
• RQ5 일반화된 설정에서 시스템은 자가 조직된 임계성 또는 절점적 평형 유사 행동을 보이는가?

주요 결과

• μZ = ∞ 이고 μX < ∞ 이면, 시스템은 U[0,1]에서의 랜덤 샘플로 수렴하게 되어, 모든 적합도가 점점이 균일 분포를 이룬다.
• μZ < ∞ 이고 μX < ∞ 이며 p > pc = μZ / μX 이면, 시스템은 U[f,1]에서의 랜덤 샘플로 수렴하게 되며, 여기서 f = 1 − pc 이다. 이는 생존하는 종의 적합도가 특정 임계값 f 이상에서만 존재함을 의미한다.
• μZ < ∞ 이고 p < pc 또는 μX = ∞ 이면, 시스템은 거의 확실히 무한히 자주 공백이 되며, 이는 반복적인 멸종을 의미한다.
• 생존 집합이 U[f,1]로의 근사 오차는 임의의 ε > 0에 대해 o(n^{1/2+ε})의 순서를 가지며, 이는 원래 GMS 모델의 이전 결과를 확장한다.
• μZ = ∞ 이고 μX < ∞ 이면, 제거된 종의 비율은 무시할 수 없게 되며, 따라서 생존 집합은 점점이 모든 탄생 종 집합과 일치하게 된다.
• μX, μZ < ∞ 이고 p = pc 인 임계 경우, 또는 μX = μZ = ∞ 인 경우의 행동는 아직 규명되지 않았으며, 향후 연구를 위한 열린 질문으로 남아 있다.