[논문 리뷰] On the Group of Almost-Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 16.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 삼중의 형식적 멱급수로 정의된 거의-리오르단 행렬의 집합을 도입하여 고전적 리오르단 군의 초군으로서 제시한다. 이는 리오르단 행렬과 대응하는 정규부군을 규명하고, 특정 거의-리오르단 행렬이 카탈란 다항식 및 피보나치 다항식과 관련된 수열에 대해 뚜렷한 하 Hankel 변환 성질을 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We study a super group of the group of Riordan arrays, where the elements of the group are given by a triple of power series. We show that certain subsets are subgroups, and we identify a normal subgroup whose cosets correspond to Riordan arrays. We give an example of an almost-Riordan array that has been studied in the context of Hankel and Hankel plus Toepliz matrices, and we show that suitably chosen almost-Riordan arrays can lead to transformations that have interesting Hankel transform properties.

연구 동기 및 목표

• 삼중의 멱급수로 정의된 더 넓은 행렬 클래스를 도입함으로써 리오르단 행렬 이론을 확장하는 것.
• 거의-리오르단 군 내에 존재하는 정규부군을 규명하여, 몫군이 고전적 리오르단 군과 동형임을 보이는 것.
• 특히 조합론적 의미를 갖는 수열에 대한 거의-리오르단 행렬의 변환 성질을 탐구하는 것.
• 이러한 변환에 의해 생성된 이미지 수열의 하 Hankel 변환 행동을 연구하며, 특히 카탈란 및 피보나치 다항식과 관련된 수열에 초점을 맞추는 것.
• 거의-리오르단 행렬, 하 Hankel 행렬식, 그리고 수직다항식 또는 체비셰프 유사 구조 간의 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 정수 계수를 갖는 삼중의 형식적 멱급수 $(g(x), f(x), h(x))$를 통해 거의-리오르단 행렬을 정의하며, 기존의 표준 리오르단 쌍 $(g(x), f(x))$를 일반화하는 것.
• 새로운 클래스에 대해 군 연산(곱과 역원)을 정의하고, 행렬 곱셈에 대한 닫힘성과 가역성을 보이는 것.
• 시리즈 역행($\bar{f}(x)$)을 사용하여 거의-리오르단 행렬의 역행렬을 표현하며, 기존 리오르단 역행 공식을 확장하는 것.
• 리오르단 행렬의 기본정리를 적용하여 거의-리오르단 행렬이 생성함수에 작용하는 방식을 정의: $(g,f,h) \bullet a(x) = g(x) \bullet a(f(x))$.
• 생산행렬과 그 구조적 역할을 분석하며, 특히 $P = A_P^{-1} \bar{I} A_P$ 와 같은 관계를 통해 거의-리오르단 행렬의 구조를 규명하는 것.
• 생성함수의 계수 행렬을 사용하여 이미지 수열의 하 Hankel 변환을 계산하고, 패턴을 식별하며, 유리형 생성함수에 대한 추측을 제시하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼중의 멱급수로 정의된 하삼각행렬의 더 큰 군 내에서 리오르단 군을 몫군으로서 포함시킬 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 거의-리오르단 행렬 군의 대수적 구조는 어떠한가? 그리고 이 군 내에 존재하는 정규부군이 존재하는가? 만약 존재한다면, 몫군이 고전적 리오르단 군과 동형이 되는가?
• RQ3 어떤 거의-리오르단 행렬이 하 Hankel 변환이 단순하거나 주기적인 패턴을 보이는 이미지 수열을 생성하는가?
• RQ4 거의-리오르단 행렬에 의해 변환된 수열의 하 Hankel 변환은 유리형 생성함수로 표현될 수 있는가? 그 구조는 어떠한가?
• RQ5 하 Hankel 변환 생성함수의 계수 행렬과 기존의 조합론적 행렬(예: 체비셰프 다항식과 관련된 것들) 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 거의-리오르단 행렬 군은 고전적 리오르단 군의 초군이며, 리오르단 군은 거의-리오르단 군의 특정 정규부군에 대한 몫군과 동형이다.
• 거의-리오르단 행렬 $(2 - c(x), c(x), x c(x))$는 이동된 피보나치 다항식에 작용하여 하 Hankel 변환의 생성함수가 $y$와 $x$를 포함하는 유리형 형태를 갖는 수열을 생성한다.
• 특정 거의-리오르단 행렬에 의해 변환된 이미지 수열 $b_n(y)$의 하 Hankel 변환은 $y=1$일 때 $(-1)^n$이며, $y=2$일 때 $(-2)^n$임을 보여주어 주기적 및 지수적 행동을 나타낸다.
• 하 Hankel 변환 생성함수의 계수 행렬에 이진행렬 $B$를 전곱하면, 그 결과로 $B^2$의 임베딩된 거듭제곱이 나타나며, 이는 더 깊은 대수적 구조를 시사한다.
• 변환된 계수 행렬은 체비셰프 다항식의 네 번째 종류와 관련된 알려진 행렬(예: OEIS A228565 및 A180870)과 대응하는 역행렬 열 패턴을 보인다.
• 거의-리오르단 행렬이 $F_{n+1}(y)$에 작용하여 생성하는 수열의 하 Hankel 변환에 대해 유리형 생성함수의 추측을 제시하며, 분자와 분모를 $x$와 $y$에 대한 명시적 표현으로 제시한다.