[논문 리뷰] On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders

Andrea C. Burgess, Peter Danziger외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 23.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 홀수 사이클 길이에 대해 하이마일턴-워터홀 문제를 해결하며, 임의의 홀수 정수 $m$과 $n$에 대해 $v$가 $mn$의 배수이면서 $v > mn$일 때 $K_v$에 $C_m$-요소분해와 $C_n$-요소분해가 존재함을 증명한다. 유한한 수의 예외를 제외하고는 필수 조건이 충분함을 입증한다. 주요 결과는 이러한 제약 조건 하에서 필수 조건의 충분성을 확립하며, $(m,n,\beta)$의 경우 다섯 개의 추가 가능한 예외와 $v=mn$의 경우 일곱 개의 예외가 존재한다.

ABSTRACT

Given non-negative integers $v, m, n, α, β$, the Hamilton-Waterloo problem asks for a factorization of the complete graph $K_v$ into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors. Clearly, $v$ odd, $n,m\geq 3$, $m\mid v$, $n\mid v$ and $α+β= (v-1)/2$ are necessary conditions. To date results have only been found for specific values of $m$ and $n$. In this paper we show that for any $m$ and $n$ the necessary conditions are sufficient when $v$ is a multiple of $mn$ and $v>mn$, except possibly when $β=1$ or 3, with five additional possible exceptions in $(m,n,β)$. For the case where $v=mn$ we show sufficiency when $β> (n+5)/2$ except possibly when $(m,α) = (3,2)$, $(3,4)$, with seven further possible exceptions in $(m,n,α,β)$. We also show that when $n\geq m\geq 3$ are odd integers, the lexicographic product of $C_m$ with the empty graph of order $n$ has a factorization into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors for every $0\leq α\leq n$, $β= n-α$, except possibly when $α= 2,4$, $β= 1, 3$, with three additional possible exceptions in $(m,n,α)$.

연구 동기 및 목표

• v가 $mn$의 배수이자 $v > mn$일 때 홀수 사이클 길이 $C_m$과 $C_n$에 대해 하이마일턴-워터홀 문제를 해결하기.
• 홀수 $m,n$에 대해 $K_v$가 $\alpha$ 개의 $C_m$-요소분해와 $\beta$ 개의 $C_n$-요소분해를 가질 수 있는 조건을 규명하기.
• 이전 결과를 확장하여, $v$가 $mn$의 배수일 때 필수 조건이 유한한 수의 예외를 제외하고는 항상 충분함을 보여주기.
• $v = mn$의 경우를 분석하고 $\beta > (n+5)/2$일 때 충분성을 확립하기, 특히 특정 작은 $\alpha$ 값은 제외한다.

제안 방법

• 알려진 $K_t[n]$의 $C_m$-요소분해 결과를 활용하여, $C_m[n]$의 사전적 곱을 이용해 요소분해를 구성한다.
• $K_t[n]$의 $C_m$-요소분해에 관한 정리 1.4를 적용하여, 사전적 곱 내의 사이클 요소분해 존재 조건을 확립한다.
• 웨일키의 방법을 기반으로 한 순환적 및 귀납적 구성 기법을 사용하여, $K_v$ 내의 $C_m$ 및 $C_n$ 요소분해를 수립한다.
• $\alpha$와 $\beta$에 대한 사례 분석을 통해, $v = mn$이면서 $\beta > (n+5)/2$일 때 충분성을 증명한다. 이 경우 특정 작은 $\alpha$ 값은 제외된다.
• $C_m[n]$의 구조와 2-요소분해를 분석하여, $C_m$-요소분해와 $C_n$-요소분해가 $K_v$ 내에서 동시에 존재할 수 있는 조건을 유도한다.
• 기존의 오버월라프 및 일반화된 오버월라프 문제 결과를 적용하여, 하이마일턴-워터홀 문제를 알려진 사이클 분해 정리로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 v가 $mn$의 배수이자 $v > mn$일 때, 어떤 홀수 정수 $m$과 $n$에 대해 하이마일턴-워터홀 문제 $\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$가 해를 갖는가?
• RQ2 $v = mn$일 때 $C_m$-요소분해와 $C_n$-요소분해가 존재하기 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 v가 $mn$의 배수일 때, 하이마일턴-워터홀 문제의 필수 조건이 유한한 수의 예외를 제외하고 항상 충분한가?
• RQ4 특히 $\beta = 1$ 또는 $3$과 같은 작은 $\beta$ 값일 때 $\alpha$와 $\beta$의 값은 해의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 사전적 곱 $C_m[n]$은 홀수 사이클 길이에 대한 하이마일턴-워터홀 문제의 해를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• v가 $mn$의 배수이자 $v > mn$일 때, $\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$의 존재 조건은 유한한 예외를 제외하고 충분하다. 특히 $\beta = 1$ 또는 $3$일 경우 다섯 개의 추가 가능한 예외가 $(m,n,\beta)$에 존재할 수 있다.
• $v = mn$일 때, $\beta > (n+5)/2$이면 필수 조건은 충분하다. 다만 $(m,\alpha) = (3,2)$ 또는 $(3,4)$일 경우 예외가 존재할 수 있으며, $(m,n,\alpha,\beta)$에 대해 일곱 개의 추가 가능한 예외가 존재한다.
• 사전적 곱 $C_m[n]$은 모든 $0 \leq \alpha \leq n$, $\beta = n - \alpha$에 대해 $\alpha$ 개의 $C_m$-요소분해와 $\beta$ 개의 $C_n$-요소분해를 가질 수 있다. 다만 $\alpha = 2,4$이고 $\beta = 1,3$일 경우 예외가 존재할 수 있으며, $(m,n,\alpha)$에 대해 세 개의 추가 가능한 예외가 존재한다.
• 논문은 $v$가 $mn$의 배수이자 $v > mn$일 때, 모든 홀수 $m,n$에 대해 $K_v$가 $C_m$-요소분해와 $C_n$-요소분해를 가짐을 증명한다. 제시된 조건 하에서 성립한다.
• 저자는 $v = mn$이고 $\beta > (n+5)/2$일 때, 모든 홀수 $m,n$에 대해 하이마일턴-워터홀 문제가 해를 갖는다고 규명한다. 지정된 예외 사례를 제외하고는 성립한다.
• 이 결과는 오버월라프 문제 및 하이마일턴-워터홀 문제에 대한 이전 연구를 확장하여, $v$에 대해 넓은 조건 하에서 홀수 사이클 길이에 대한 일반적 해를 제공한다.