[논문 리뷰] On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions

Dylan Airey, Bill Mance|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $Q$-칸토어 급수 전개에서 다양한 정규성 성질로 정의된 차집합의 하우스도르프 차원을 계산하며, 기본 수열 $Q$가 한계에서 무한하고 완전히 발산하는 경우, 모든 비자명한 이러한 집합이 하우스도르프 차원 1을 가짐을 보여준다. 유일한 예외는 $\mathscr{N}(Q)\setminus\mathscr{DN}(Q)$이며, 이는 더 강한 조건 하에서 여전히 전체 차원을 가진다. 이 결과들은 차원 이론적 방법을 사용하여 고전적 정규수 이론을 일반화된 칸토어 급수 전개로 확장한다.

ABSTRACT

Following in the footsteps of P. Erdős and A. Rényi we compute the Hausdorff dimension of sets of numbers whose digits with respect to their $Q$-Cantor series expansions satisfy various statistical properties. In particular, we consider difference sets associated with various notions of normality and sets of numbers with a prescribed range of digits.

연구 동기 및 목표

• 기본 수열 $Q$의 $Q$-칸토어 급수 전개에서 숫자가 특정 통계적 성질을 만족하는 실수 집합의 하우스도르프 차원을 결정하는 것.
• 기본 수열 $b$ 전개에서의 고전적 정규수 이론 결과를 $Q$-칸토어 급수 전개의 더 일반적인 설정으로 확장하는 것.
• $Q$-정규, $Q$-비율 정규, $Q$-분포 정규 집합 간의 차집합의 차원에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 측도가 전체가 아니지만 하우스도르프 차원이 전체인 집합 $\mathscr{N}(Q)\setminus\mathscr{DN}(Q)$가 전체 차원을 가질 수 있는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 기본 수열 $Q = (q_n)$이 $q_n \geq 2$를 만족할 때, 기저-$b$ 전개를 일반화하기 위해 $Q$-칸토어 급수 전개의 프레임워크를 사용한다.
• 길이 $k$인 숫자 블록의 渐近 등분포를 통해 $Q$-정규성의 순서 $k$를 정의한다.
• 특히 하우스도르프 차원의 하한을 구하기 위해 동차 모란 집합을 구성하는 기법을 사용하여, 메트릭 수론과 분수기하학의 기법을 적용한다.
• $Q_n^{(k)} = \sum_{j=1}^n \frac{1}{q_j q_{j+1} \cdots q_{j+k-1}}$를 포함하는 극한 추론을 통해 숫자 블록의 빈도를 분석한다.
• 차원을 제어하기 위해 희박한 색인 집합을 사용하여 $\mathscr{W}_Q(S)$, 즉 $Q$-전개에서 숫자 집합이 $S$인 수의 집합의 명시적 부분집합을 구성한다.
• 하우스도르프 차원의 추정을 위해 $\dim_H(C) \geq \liminf_{k\to\infty} \frac{\log(n_1 \cdots n_k)}{-\log(c_1 \cdots c_{k+1} n_{k+1})}$ 공식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 수열 $Q$가 한계에서 무한하고 완전히 발산할 때, $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 기본 수열 $Q$가 한계에서 무한하고 완전히 발산할 때, $\mathscr{N}(Q)$, $\mathscr{RN}(Q)$, $\mathscr{DN}(Q)$로부터 형성된 모든 비자명한 차집합이 하우스도르프 차원 1을 가질까?
• RQ3 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$에 대한 전체 차원 결과를 이러한 $Q$ 전역에 확장할 수 있을까, 아니면 제한된 부분집합에만 성립할까?
• RQ4 $Q$에 어떤 조건이 성립하면 $\bigcap_{j=\ell}^\infty \mathscr{N}_j(Q) \setminus \bigcup_{j=1}^{\ell-1} \mathscr{N}_j(Q)$가 전체 하우스도르프 차원을 가질까?
• RQ5 Schmidt의 고전 이론에 해당하는 조건과 유사하게, $\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)$와 같은 집합의 전체 하우스도르프 차원을 위한 필수 및 필요조건이 존재하는가?

주요 결과

• 한계에서 무한하고 완전히 발산하는 모든 기본 수열 $Q$에 대해, $\mathscr{N}(Q)$, $\mathscr{RN}(Q)$, $\mathscr{DN}(Q)$로부터 형성된 모든 비자명한 차집합은 하우스도르프 차원 1을 가진다.
• 기본 수열 $Q$가 추가 성장 조건을 만족할 경우, 즉 $k$-발산성($k \geq \ell$)과 $q_n$의 특정 渐近적 행동을 만족할 경우, 집합 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$는 전체 하우스도르프 차원(즉, 차원 1)을 가진다.
• 고정된 집합 $S \subset \mathbb{N}_0$의 숫자를 갖는 수의 집합인 $\mathscr{W}_Q(S)$는 $Q$가 한계에서 무한할 경우 하우스도르프 차원 $\gamma = \lim_{k\to\infty} \frac{\log \#(S \cap \{0, \dots, q_k - 2\})}{\log q_k}$을 가진다.
• 차원이 $\gamma$와 일치하는 동차 모란 집합의 구성은 $\dim_H(\mathscr{W}_Q(S))$의 하한을 증명하며, 포함관계에 의한 상한이 따라온다.
• 논문은 $Q$가 한계에서 무한하고 완전히 발산할 경우, $\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)) = 1$ 이며 $\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{RN}(Q)) = 1$ 임을 보여, 이러한 차집합 집합의 전체 차원을 확인한다.
• 결과들은 이전 연구를 일반화하여, 전체 르베그 측도가 아닐지라도 다양한 정규성 개념의 조합에 대해 전체 차원이 유지됨을 보여주며, 이는 강건함을 입증한다.