[논문 리뷰] On the Height Profile of a Conditioned Galton-Watson Tree

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 19.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 형제 분포가 스케일 불변 법칙의 영역에 속할 때, 조건부 갈톤-워슨 트리의 높이 프로파일에 대한 기능적 극한 정리(함수극한정리)를 수립한다. 적절한 스케일링 하에 높이 프로파일이 정규화된 레비의 외출에 대한 기능적 표현으로 분포 수렴함을 증명하며, 아울드스의 추측을 유한 분산의 경우를 넘어서 무한 분산의 경우로 확장한다. 이는 다리-외출 쌍용 기법과 스코로호드 수렴을 기반으로 한 새로운 접근 방식을 통해 달성된다.

ABSTRACT

Drmota and Gittenberger (1997) proved a conjecture due to Aldous (1991) on the height profile of a Galton-Watson tree with an offspring distribution of finite variance, conditioned on a total size of $n$ individuals. The conjecture states that in distribution its shape, more precisely its scaled height profile coincides asymptotically with the local time process of a Brownian excursion of duration 1. We give a proof of the result, which extends to the case of an infinite variance offspring distribution. This requires a different strategy, since in the infinite variance case there is no longer a relationship to the local time of Brownian resp. Lévy excursions.

연구 동기 및 목표

• 크기가 n인 갈톤-워슨 트리의 높이 프로파일의 渐近적 형태를 수립하여 이전 결과를 유한 분산의 경우를 넘어서는 것을 목표로 한다.
• 무한 분산 형제 분포의 경우 아울드스의 추측, 즉 스케일된 높이 프로파일이 브라운 운동 외출의 국소 시간으로 수렴한다는 것을 해결하는 것.
• 형제 분포가 안정 분포의 영역에 속하고 색인 α ∈ (1,2]인 경우, 조건부 갈톤-워슨 트리의 수렴에 대한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 브라운 운동 외출의 국소 시간에 의존하지 않는 새로운 증명 전략을 제공함으로써 레비 과정과 다리-외출 변환을 활용하는 것.

제안 방법

• 기능적 극한 정리 접근법을 사용하며, 스케일된 높이 프로파일 $ H^n(u) = a_n^{-1} Z_{[nu/a_n]} $ 를 분석한다. 여기서 $ a_n $ 는 $ a_n^{-1}(\text{sum of } n \text{ i.i.d. offspring variables} - n) $ 이 분포 수렴하도록 선택된다.
• 스코로호드의 정리를 적용하여 스케일된 랜덤 워크 다리 $ S^n $ 이 시간 1에서 0으로 되돌아오는 레비 다리 $ X $ 로 거의 확실히 수렴한다고 가정한다. 이는 시간 1에서 0으로 되돌아오는 조건부 레비 과정이다.
• 레비 다리 $ X $ 에서 첫 번째 최소값 도달 시점 $ T(f) $ 를 기반으로 순환 이동 변환을 통해 정규화된 외출 $ Y $ 를 구성한다.
• 누적 높이 과정 $ C_u = \sup\{ s \leq 1 : \int_0^s \frac{dt}{Y_t} \leq u \} $ 로 주어진 높이 프로파일 $ H $ 는 정규화된 외출 $ Y $ 의 기능적 표현 $ \psi(Y) $ 으로 정의된다.
• 스코로호드 위상 하에서 다리에서 외출으로의 변환 $ f \mapsto \overline{f} $ 가 연속임을 보이며, 최소점의 거의 확실한 유일성과 그 점에서의 연속성에 의존한다.
• 관련된 다리 $ S^n $ 이 $ X $ 로 수렴하고, 유도된 외출 $ \overline{S^n} $ 이 $ \overline{X} = Y $ 로 수렴함을 증명함으로써 높이 프로파일 $ H^n $ 이 $ H = \psi(Y) $ 로 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형제 분포가 무한 분산을 가지는 조건부 갈톤-워슨 트리의 높이 프로파일이 형제 분포의 영역에 속하는 동일한 레비 과정의 정규화된 외출에 대한 기능적 표현으로 분포 수렴하는가?
• RQ2 브라운 운동 외출의 국소 시간으로의 수렴에 대한 아울드스의 추측은 유한 분산의 경우를 넘어서 무한 분산의 경우로 확장 가능한가?
• RQ3 형제 분포가 색인 $ \alpha \in (1,2) $ 인 안정 분포의 영역에 속할 경우, 높이 프로파일에 적절한 스케일링 $ a_n $ 은 무엇인가?
• RQ4 점프를 가진 레비 과정의 맥락에서 다리-외출 변환은 어떻게 엄밀하게 정당화할 수 있는가?
• RQ5 스코로호드 위상 하에서 높이 프로파일의 수렴은 약한 수렴에 대해 안정적인가? 그리고 변환은 연속성을 유지하는가?

주요 결과

• CGW(n)-트리의 높이 프로파일 $ H^n $ 이 $ H = \psi(Y) $ 로 분포 수렴하며, 여기서 $ Y $ 는 형제 분포와 동일한 영역에 속하는 레비 과정의 정규화된 외출이다.
• 유한 분산 형제 분포의 경우 $ a_n = \sigma n^{1/2} $ 이고, 극한 과정 $ H $ 는 정규화된 브라운 운동 외출의 국소 시간 과정의 반값과 동일한 분포를 가진다.
• 무한 분산의 경우에도 극한 과정 $ H $ 는 여전히 비퇴화적이며, 브라운 운동 국소 시간과는 대응하지 않지만 정규화된 레비 외출에서 유래한다.
• 스코로호드 $ J_1 $ 위상 하에서 캄다글 함수 공간에서의 수렴이 성립하여 극한의 경로 안정성을 보장한다.
• 첫 번째 최소값 지점에 기반한 다리에서 외출으로의 변환은 스코로호드 위상 하에서 연속적이며, 이는 다리의 수렴을 외출으로 이 trasfer 할 수 있도록 한다.
• 극한 과정 $ H $ 는 거의 확실하게 비퇴화적이며, $ \int_0^{0+} \frac{dt}{Y_t} < \infty $ 이므로 모든 $ u \in (0,h) $ 에 대해 $ H_u > 0 $ 이고, $ u \to h $ 일 때 $ C_u \to 1 $ 이다.