[논문 리뷰] On the hyperbolicity of base spaces for maximally variational families of smooth projective varieties

Ya Deng, Abramovich, with an appendix by Dan|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 60인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 캐논리컬 번들에 대해 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들의 최대 다양도를 가진 매끄럽고 프로젝티브 다양체의 기본 공간이 의사 코바야시 초평면임을 증명하며, 비에흐베그-츠오(2003)의 추측을 확인하고 브로디 및 코바야시 초평면성에 관한 결과를 일반화한다. 비에흐베그-츠오 히그스 번들의, 편미분 기하학적 메트릭, 그리고 직접 이미지의 양성에 기반하여, 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들과 함께 극대적으로 다양도가 있는 다항식의 모듈리 공간에 대해 초평면성을 확립하며, 일반형의 최소 프로젝티브 다양체의 효과적인 매개변수화로 확장된다.

ABSTRACT

For smooth families with maximal variation, whose general fibers have semi-ample canonical bundle, the generalized Viehweg hyperbolicity conjecture states that the base spaces of such families are of log general type. This deep conjecture was recently proved by Popa-Schnell using the theory of Hodge modules and a theorem by Campana-Păun. In this paper we prove that those base spaces are pseudo Kobayashi hyperbolic, as predicted by the Lang conjecture: any complex quasi-projective manifold is pseudo Kobayashi hyperbolic if it is of log general type. As a consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of polarized manifolds with semi-ample canonical bundle. This proves a conjecture by Viehweg-Zuo in 2003. We also prove the Kobayashi hyperbolicity of base spaces of effectively parametrized families of minimal projective manifolds of general type. This generalizes previous work by To-Yeung, in which they further assumed that these families are canonically polarized.

연구 동기 및 목표

• 비에흐베그와 츠오(2003)가 제기한, 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 다항식의 모듈리 공간의 브로디 초평면성에 관한 오랜 동안의 추측을 해결하는 것.
• 라ング 추측에 따라 예측된, 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 매끄럽고 프로젝티브 다양체의 극대 다양도 가진 가족의 기본 공간에 대해 의사 코바야시 초평면성을 확립하는 것.
• 기존의 코바야시 초평면성 결과를 일반화하여, 캐논리컬로 극대화되지 않은 경우에도 일반형의 최소 프로젝티브 다양체의 효과적인 매개변수화 가족으로 확장하는 것.
• 직접 이미지의 양성과 호지 이론적 도구를 사용하여 모듈리 이론적 맥락에서 초평면성의 기하적 특성화를 제공하는 것.
• 편미분 기하학적 메트릭과 비에흐베그-츠오 히그스 번들을 사용하여 특이점과 로그 구조를 가진 가족에서의 초평면성을 분석할 수 있는 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 직접 이미지의 양성과 히그스 번들의 그리피스 곡률 공식을 이용하여 기본 공간에 대한 편미분 기하학적 메트릭을 구성한다.
• 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 가족에 대해 비에흐베그-츠오 히그스 번들 구축법을 적용하며, 일반적인 국소 토렐리 정리의 존재를 활용한다.
• $\rQ$-부드러운 축소와 콜라르의 slc 다양체 가족을 사용하여 특이점을 다루고 기저 변화에 따른 캐논리컬 번들의 평탄성을 보장한다.
• 안정적 매핑 모듈리 스택과 아케예프의 컴acts화를 사용하여 특이성이 통제된 가족의 올바른 컴acts화를 구성한다.
• 순수성 보조정리와 카와마타 커버링 팩키지를 적용하여 유한 커버를 올리고, 매끄러운 기저 스킴 위에서 적절한 가족의 존재를 보장한다.
• 히그스 번들의 곡률 양성과 비에흐베그-츠오 히그스 번들의 구조를 결합하여 초평면성을 유도하는 비영인 곡률 형식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 매끄럽고 프로젝티브 다양체의 극대 다양도 가진 가족의 기본 공간은 의사 코바야시 초평면인가?
• RQ2 비에흐베그와 츠오(2003)가 추측한, 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 다항식의 모듈리 공간의 브로디 초평면성은 참인가?
• RQ3 캐논리컬 극대화가 필요 없이 일반형의 최소 프로젝티브 다양체의 효과적인 매개변수화 가족의 기본 공간에 대해 코바야시 초평면성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 로그 구조와 특이점이 존재하는 상황에서 비에흐베그-츠오 히그스 번들 구축법이 초평면성에 충분한 곡률 양성을 제공하는가?
• RQ5 $\rQ$-부드러운 축소와 안정적 매핑 모듈리 스택을 어떻게 사용하여 특이성이 통제된 컴acts화의 존재를 보장할 수 있는가, 이는 초평면성 증명에 기여하는가?

주요 결과

• 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 매끄럽고 프로젝티브 다양체의 극대 다양도 가진 가족의 기본 공간 $V$ 는 라ング 추측에 따라 의사 코바야시 초평면이다.
• 반신뢰성 있는 캐논리컬 번들을 가진 다항식의 모듈리 공간 $P_h$ 는 모듈리 사상이 그 이미지 위에서 준위가 유한한 경우에 브로디 초평면이며, 이는 비에흐베그-츠오의 추측을 확인한다.
• 일반형의 최소 프로젝티브 다양체의 효과적인 매개변수화 가족의 기본 공간은 코바야시 초평면이며, 이는 이전의 투와 양의 결과를 일반화한다. 이전 결과는 캐논리컬 극대화를 요구하였다.
• 비에흐베그-츠오 히그스 번들과 그리피스 곡률 공식에 기반하여 기본 공간에 대해 양성 곡률을 가진 편미분 기하학적 메트릭을 구성함으로써 의사 코바야시 초평면성이 유도된다.
• 비에흐베그-츠오 히그스 번들에 대한 일반적인 국소 토렐리 정리의 존재는 곡률 형식이 비퇴화임을 보장하며, 이는 초평면성 결론을 가능하게 한다.
• $\rQ$-부드러운 축소 기법을 통해 캐논리컬 특이성을 가진 가족의 컴acts화를 구성할 수 있으며, 이는 기저 변화에 따른 캐논리컬 번들의 평탄성과 호환성을 보장한다.