[논문 리뷰] On the infinity category of homotopy Leibniz algebras

David Khudaverdyan, Norbert Poncin외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완전한 Leibniz ∞-대수의 내부 구조가 준군집(quasi-category)를 이룬다는 것을 보여줌으로써, 호모토피 Leibniz 대수에 대한 ∞-범주 구조를 수립한다. 여기서 ∞-호모토피는 n-단체로 표현되며, 2-항목 Leibniz ∞-대수의 경우 이 ∞-범주적 구조는 엄밀한 2-범주로 투사되며, 기존의 호모토피 합성과 2-모르피즘에 대한 결과를 복원하고 일반화한다.

ABSTRACT

We discuss various concepts of $\infty$-homotopies, as well as the relations between them (focussing on the Leibniz type). In particular $\infty$-$n$-homotopies appear as the $n$-simplices of the nerve of a complete Lie ${\infty}$-algebra. In the nilpotent case, this nerve is known to be a Kan complex \cite{Get09}. We argue that there is a quasi-category of $\infty$-algebras and show that for truncated $\infty$-algebras, i.e. categorified algebras, this $\infty$-categorical structure projects to a strict 2-categorical one. The paper contains a shortcut to $(\infty,1)$-categories, as well as a review of Getzler's proof of the Kan property. We make the latter concrete by applying it to the 2-term $\infty$-algebra case, thus recovering the concept of homotopy of \cite{BC04}, as well as the corresponding composition rule \cite{SS07}. We also answer a question of \cite{BS07} about composition of $\infty$-homotopies of $\infty$-algebras.

연구 동기 및 목표

• Leibniz ∞-대수의 맥락에서 ∞-호모토피와 그 합성의 개념을 명확히 하기 위해.
• 이전 연구에서 일반적인 증명이 없이도 ∞-모르피즘의 ∞-호모토피를 합성할 수 있는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이차 카오스큘러스(Koszul) 작용소에 대한 ∞-대수의 집합이 ∞-범주를 이룬다는 것을 보이며, Leibniz 대수에 초점을 맞추기 위해.
• Leibniz 2-대수와 2-항목 Leibniz ∞-대수 사이에 1:1 대응이 존재하며, 이들의 2-범주가 2-동치임을 보여주기 위해.
• Getzler의 증명을 이용해, 영향력 있는 ∞-대수의 내부 구조가 켄 복합체임을 2-항목 경우에 대해 구체화함으로써, 기존의 호모토피 합성 규칙을 복원하기 위해.

제안 방법

• 완전한 리 ∞-대수의 내부 구조를 이용해, ∞-n-단체를 ∞-호모토피로 정의하며, 이를 복합 대수에서의 모어-카르탕(Maurer-Cartan) 원소로 모델링한다.
• Getzler의 켄 성질 증명을 2-항목 Leibniz ∞-대수의 경우에 적용하여, 내부 구조가 켄 복합체임을 보였다.
• 완전한 복합 리 ∞-대수에서의 ∞-모르피즘의 모어-카르탕 원소에 대한 게이지 또는 퀼렌 호모토피로 ∞-호모토피를 특성화한다.
• 단체적 딜람 대수를 이용해 ∞-호모토피를 정의하고, 이를 일치성(concordances)과 퀼렌 호모토피와 비교한다.
• ∞-모르피즘을 MC 원소로 표현하고, ∞-호모토피를 그들 사이의 호모토피로 간주함으로써, 호모토피 Leibniz 대수의 준군집을 구성한다.
• 2-항목 경우에 수직 합성이 잘 정의되고 결합법칙을 만족함을 보여, ∞-범주적 구조를 엄밀한 2-범주로 투사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Leibniz ∞-대수에서 ∞-모르피즘의 ∞-호모토피는 합성될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ2 완전한 Leibniz ∞-대수의 내부 구조는 준군집과 켄 복합체와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 2-항목 Leibniz ∞-대수와 Leibniz 2-대수 사이의 범주적 구조에서의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 ∞-대수의 내부 구조에서 ∞-호모토피의 합성은 2-항목 경우에 어떻게 엄밀한 2-범주적 합성으로 투사되는가?
• RQ5 Getzler의 켄 성질 증명은 2-항목 Leibniz ∞-대수의 맥락에서 명시적으로 구현될 수 있는가? 그리고 이는 기존의 호모토피 합성 규칙을 복원하는가?

주요 결과

• 완전한 Leibniz ∞-대수의 내부 구조는 준군집이 되며, ∞-대수의 집합에 대해 ∞-범주적 구조를 수립한다.
• 2-항목 Leibniz ∞-대수의 경우, ∞-호모토피의 ∞-범주적 구조는 엄밀한 2-범주로 투사되며, 수직 합성이 잘 정의되고 결합법칙을 만족한다.
• 논문은 Shoikhet(2008)의 질문에 답하며, 내부 구조를 통해 ∞-모르피즘의 ∞-호모토피가 합성될 수 있음을 보였지만, 일반적으로 엄밀한 결합법칙은 성립하지 않는다.
• 2-항목 경우에 이 구성은 [BC04]와 [SS07]에서의 호모토피 합성 규칙을 복원하며, 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• Leibniz 2-대수와 2-항목 Leibniz ∞-대수 사이에 1:1 대응이 존재하며, 이들의 2-범주도 2-동치이다.
• 2-항목 경우에 대해 내부 구조의 켄 성질을 명시적으로 검증함으로써, 추상적인 준군집 구조의 구체적 실현이 이루어졌다.