[논문 리뷰] On the integration of LA-groupoids and duality for Poisson groupoids

Luca Stefanini|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리 대수다발의 내부에 있는 리 군oids인 LA-군oids를 이중 리 군oids로 통합하기 위한 함자적 접근을 제시한다. 여기서는 섬유곱과 리 대수다발 호모토피의 올림 조건을 사용한다. 주요 결과는 상부 리 대수다발이 적분 가능할 경우, 적절한 올림 조건을 만족하면 LA-군oids가 심플렉틱 이중 군oids로 통합되며, 이를 통해 심플렉틱 축소를 통한 파오송 군oids 간의 이중성 관계를 도출한다.

ABSTRACT

In this note a functorial approach to the integration problem of an LA-groupoid to a double Lie groupoid is discussed. To do that, we study the notions of fibred products in the categories of Lie groupoids and Lie algebroids, giving necessary and sufficient conditions for the existence of such. In particular, it turns out, that the fibred product of Lie algebroids along integrable morphisms is always integrable by a fibred product of Lie groupoids. We show that to every LA-groupoid with integrable top structure one can associate a differentiable graph in the category of Lie groupoids, which is an integrating double Lie groupoid, whenever some lifting conditions for suitable Lie algebroid homotopies are fulfilled; the result specializes to the case of a Poisson groupoid, yielding a symplectic double groupoid, provided our conditions on the associated LA-groupoid are satisfied.

연구 동기 및 목표

• LA-군oids를 이중 리 군oids로 통합하기 위한 함자적 프레임워크 개발.
• 리 군oids 및 리 대수다발의 범주에서 섬유곱의 존재에 대한 필요 및 충분 조건 규명.
• 파오송 군oids의 경우에서 LA-군oids의 적분 가능성과 심플렉틱 이중 군oids의 존재 간의 관계 수립.
• 통합 그래프에서 호환 가능한 곱셈을 구성하는 데 있어 리 대수다발 경로 및 호모토피의 올림 조건의 역할 명확화.
• LA-군oids의 통합으로 유도된 심플렉틱 이중 군oids를 통한 파오송 군oids의 이중성 탐색.

제안 방법

• 리 대수다발 및 리 군oids의 섬유곱을 사용하며, 사상이 적분 가능할 경우 리 대수다발의 섬유곱이 항상 적분 가능하다는 것을 보여준다.
• 곱셈이 없는 리 군oids인 '다양체적 그래프'를 도입하여 LA-군oids의 통합을 모델링한다.
• A-경로 및 A-호모토피에 대해 웨인스타인 군oids 구성법을 적용하여, 단조군oids를 통한 적분 조건 특성화.
• 리 군oids의 섬유곱에 대해 수직 조건을 도입하여, 이들이 리 군oids 범주에 남아 있도록 보장한다.
• 코우런트 시그마 모델의 위상공간에 대해 심플렉틱 축소를 적용하여, 리 이중대수다발에서 심플렉틱 이중 군oids를 구성한다.
• 두 번째 및 세 번째 뉴스가 1-연결일 경우, 통합 그래프에서 호환 가능한 곱셈이 유도되며, 이는 대수다발 호모토피의 올림 조건에 의해 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분 가능 사상에 沿해 리 대수다발의 섬유곱이 항상 적분 가능한 리 군oids가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 적분 가능한 상부 구조를 가진 LA-군oids가 이중 리 군oids로 통합될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 리 대수다발 경로 및 호모토피의 올림 조건은 통합 이중 군oids에서 호환 가능한 곱셈의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 두 번째 및 세 번째 뉴스의 1-연결성이 파오송 군oids에서 심플렉틱 이중 군oids를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 파오송 군oids의 이중은 코우런트 시그마 모델의 심플렉틱 축소를 통해 구성될 수 있는가? 그리고 이는 이중성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 적분 가능 사상에 따라 리 대수다발의 섬유곱은 항상 리 군oids의 섬유곱에 의해 적분 가능하다.
• 상부 리 대수다발이 적분 가능할 경우, 대수다발 호모토피의 올림 조건을 만족하면 LA-군oids는 리 군oids 범주 내에서 역전이 가능하고 단위원소를 가진 다양체적 그래프로 통합된다.
• 두 번째 및 세 번째 뉴스에 대한 연결성 가정 조건이 만족되면, 통합 그래프는 두 번째 곱셈을 갖게 되어 이중 리 군oids가 된다.
• 이 연결성 가정 조건은 원래 LA-군oids에만 의존하는 대수다발 경로 및 호모토피의 올림 조건에 의해 유도된다.
• 파오송 군oids의 경우, 이 구성은 심플렉틱 이중 군oids를 유도하며, 이는 파오송 군oids와 그 약한 이중 간의 이중성 관계를 실현한다.
• 기본 다양체가 정사각형이고 경계 조건이 적절히 선택된 경우, 심플렉틱 이중 군oids는 코우런트 시그마 모델의 축소된 위상공간 내에서 라그랑주 부분군oids로 나타난다.