[논문 리뷰] On the irreducibility of associated varieties of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 W-대수의 관련 다양체의 불가약성에 대해 조사하며, W-대수의 관련 다양체로 나타나는 군집형 슬로도위 슬라이스의 불가약성을 중심으로 다룬다. 관련 다양체가 유한한 심플렉틱 잎을 가진 모든 알려진 경우에서 이러한 다양체의 불가약성을 확인하였고, 특히 B_r형 단순 아핀 버텍스 대수의 수준 -2에서 유도되는 새로운 버텍스 대수의 예를 제시한다. 이 대수들의 관련 다양체는 짧은 노름형 궤도의 폐포임을 증명하였고, 이는 불가약하고 림스(리무스)임을 보였다.

ABSTRACT

We investigate the irreducibility of the nilpotent Slodowy slices that appear as the associated variety of W-algebras. Furthermore, we provide new examples of vertex algebras whose associated variety has finitely many symplectic leaves.

연구 동기 및 목표

• 관련 다양체가 유한한 심플렉틱 잎을 가진 경우 W-대수의 관련 다양체의 불가약성을 검증하기 위해.
• W-대수의 관련 다양체로 나타나는 노름형 슬로도위 슬라이스의 불가약성 추측을 확인하기 위해.
• 관련 다양체에 유한한 심플렉틱 잎을 가진 새로운 버텍스 대수의 예를 구성하기 위해.
• Drinfeld-Sokolov 축소에 의한 관련 다양체의 구조에 관한 [AM16]의 추측을 증명하기 위해.
• B_r형 단순 아핀 버텍스 대수의 수준 -2에서의 관련 다양체가 짧은 노름형 궤도의 폐포임을 증명하기 위해.

제안 방법

• 노름형 슬로도위 슬라이스의 기하학을 분석하며, 이는 노름형 궤도 폐포와 슬로도위 슬라이스의 교차로 정의된다.
• 리 대수의 표현 이론과 노름형 궤도 이론의 깊이 있는 결과를 적용하여 이러한 슬라이스의 불가약성을 결정한다.
• Drinfeld-Sokolov 축소 함자를 사용하여 버텍스 대수의 관련 다양체와 슬로도위 슬라이스의 기하학을 연결한다.
• Jantzen의 단순성 기준을 적용하여 특정 코homology 모듈이 단순함을 증명함으로써 림스 버텍스 대수임을 보인다.
• Zhu의 C2-대수 구성법을 사용하여 관련 다양체를 파oisson 대수의 스펙트럼으로 표현한다.
• 버텍스 대수의 관련 다양체가 심플렉틱 잎의 유한한 합집합임을 이용하고, G-불변 부분다양체를 연구함으로써 불가약성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관련 다양체가 유한한 심플렉틱 잎을 가진 경우 W-대수의 관련 다양체는 불가약한가?
• RQ2 어떤 노름형 슬로도위 슬라이스가 W-대수의 관련 다양체로 나타나며, 이들은 불가약한가?
• RQ3 수준 -2에서 단순 아핀 버텍스 대수의 Drinfeld-Sokolov 축소는 림스 버텍스 대수를 얻는가?
• RQ4 B_r형 단순 아핀 버텍스 대수의 수준 k = -2에서의 관련 다양체는 짧은 노름형 궤도의 폐포로 식별될 수 있는가?
• RQ5 수준 -2에서 Drinfeld-Sokolov 축소로 얻어진 버텍스 대수의 관련 다양체는 불가약한가?

주요 결과

• B_r형 단순 아핀 버텍스 대수의 수준 -2에서의 관련 다양체는 짧은 노름형 궤도의 폐포이며, 이는 불가약하다.
• 이 버텍스 대수의 수준 -2에서의 Drinfeld-Sokolov 축소는 짧은 노름형 궤도에서 유도된 단순하고 림스 버텍스 대수로, 중심 전하 c_{2,2r-3}에서의 바라소로 대수와 동형이다.
• 수준 -2에서 Drinfeld-Sokolov 축소를 통해 구성된 W-대수의 관련 다양체는 불가약하며, 짧은 노름형 궤도의 폐포와 일치한다.
• 관련 다양체가 유한한 심플렉틱 잎을 가진 모든 알려진 경우에서 불가약성이 확인되었으며, 이는 불가약성 추측을 지지한다.
• [AM16, 추측 2]의 추측이 증명되었으며, 이는 유한한 심플렉틱 잎을 가진 새로운 버텍스 대수의 클래스를 확립한다.
• 수준 k = -2에서의 버텍스 대수 V_k(so_{2r+1})의 관련 다양체는 G-불변이며 짧은 노름형 궤도의 폐포와 같음을 보였으며, 이는 그 불가약성을 확인한다.