[논문 리뷰] On the Law of Large Numbers for Discrete Fourier Transform

Na Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 $1 < p < 2$ 인 경우, 유한한 $p$차 모멘트를 가진 동일하게 분포된 랜덤 변수의 이산 푸리에 변환(DFT)에 대해 강한 법칙의 수렴 속도를 확립한다. 이 결과는 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$를 만족하는 약간의 의존성을 가진 시퀀스로 확장되며, 거의 모든 $t \in [-\pi, \pi)$ 에서 $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ 이 거의 확실히 성립함을 증명한다. 정확한 모멘트 조건과 尾확률 경계는 截단과 마틴게일 기법을 통해 도출된다.

ABSTRACT

We establish the rate of convergence in the strong law of large numbers of discrete Fourier Transform of the identically distributed random variables with finite moment of order p, where 1

연구 동기 및 목표

• 의존적인 랜덤 변수의 이산 푸리에 변환에 대해 강한 법칙의 확장을 시도한다.
• 유한한 $p$차 모멘트 조건 하에서 $S_n(t)/n^{1/p}$ 의 거의 확실한 수렴 속도를 규명한다.
• i.i.d. 시퀀스를 초월하여 확률적 지배 조건을 만족하는 약간의 의존성을 가진 시퀀스로 결과를 일반화한다.
• 부분 DFT 합의 최댓값에 대한 모멘트 기반 尾확률 경계를 제공한다.
• Baum-Katz와 Stoica의 결과를 Fubini 및 Carleson 유형 수렴 추론을 통해 통합한다.

제안 방법

• 큰 편차를 제어하기 위해 $Y_k = X_k I\{|X_k| \leq k\}$ 를 통한 랜덤 변수의 截단.
• praticular $t$ 에 대해 $\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikt}Y_k}{k}$ 의 거의 확실한 수렴에 대해 Carleson의 정리를 적용.
• Kronecker의 보조정리를 사용하여 거의 모든 $t$ 에 대해 $\frac{1}{n}S_n^*(t) \to 0$ 이 거의 확실히 성립함을 유도.
• 꼬리 확률 분석을 위해 $S_k(t)$ 를 截단된 ($S_k'$) 와 잔여($S_k''$) 성분으로 분해.
• $t \in [-\pi, \pi)$ 에 대한 통합과 합의 순서를 바꾸기 위해 Fubini의 정리를 적용.
• 모멘트 경계와 부등식(Markov, Cauchy-Schwarz)을 사용하여 $\mathbb{E}[|S_k'|^2]$ 와 $\mathbb{E}[|S_k''|]$ 를 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일하게 분포된 랜덤 변수의 이산 푸리에 변환은 강한 법칙의 수렴을 만족하는가?
• RQ2 유한한 $p$차 모멘트 조건 하에서 거의 모든 $t \in [-\pi, \pi)$ 에 대해 $S_n(t)/n$ 이 0으로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ3 만약 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ 이지만 $X_n$ 이 동일하게 분포되지 않은 경우에도 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 어떤 모멘트 조건이 $\sum_n n^{p/r - 2} P(\max_{k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r})$ 의 수렴성을 보장하는가?
• RQ5 거의 확실한 수렴과 모멘트 속도 측면에서 DFT의 행동은 고전적 합과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $1 < p < 2$ 인 경우 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 이면, 거의 모든 $t \in [-\pi, \pi)$ 와 모든 $1 \leq r \leq p$ 에 대해 $\sum_{n=1}^\infty n^{p/r - 2} P(\max_{1 \leq k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r}) < \infty$ 이다.
• 동일한 모멘트 조건 하에서, 거의 모든 $t \in [-\pi, \pi)$ 에 대해 $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ 이 거의 확실히 성립한다.
• 모든 $t$ 에 대해 거의 확실하게 $S_n(t)/n \to 0$ 이 성립하려면 $\mathbb{E}|X_1| < \infty$ 이면 충분하며, 동일 분포 조건 없이 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ 를 만족하면 된다.
• 결과는 확률적 지배 조건을 만족하는 약간의 의존성을 가진 시퀀스로 확장되며, 동일한 수렴 속도와 꼬리 경계를 유지한다.
• 증명은 截단, Carleson의 정리, Fubini의 정리, 그리고 $\mathbb{E}[|X_k|^2 I\{|X_k| \leq n^{1/r}\}]$ 와 $\mathbb{E}[|X_k| I\{|X_k| > n^{1/r}\}]$ 를 통한 모멘트 추정에 기반한다.
• 수렴 조건은 Borel-Cantelli와 최대부등식 추론을 통해 거의 확실한 수렴을 암시하며, 최종 결과는 Fubini와 $t$ 에 대한 급수의 적분 가능성에 의해 도출된다.