[논문 리뷰] On the Local Equivalence of 2D Color Codes and Surface Codes with Applications

Arun B. Aloshious, Arjun Nitin Bhagoji외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 대수적 프레임워크를 사용하여 두 차원(2D) 색 코드와 관련된 표면 코드의 두 복제본 사이의 국소적 등가성을 확립한다. 저자들은 O(n) 게이트 복잡도를 가지며 앤실리(ancilla)를 필요로 하지 않는 명시적인 양자 회로를 제시하여 색 코드를 표면 코드로 변환하며, 이는 색 코드의 디코딩을 표면 코드 디코더를 통해 가능하게 한다. 특히 비트 플립 및 양자 소실 채널에서 효과적이다.

ABSTRACT

In recent years, there have been many studies on local stabilizer codes. Under the assumption of translation and scale invariance Yoshida classified such codes. His result implies that translation invariant 2D color codes are equivalent to copies of toric codes. Independently, Bombin, Duclos-Cianci, and Poulin showed that a local translation invariant 2D topological stabilizer code is locally equivalent to a finite number of copies of Kitaev's toric code. In this paper we focus on 2D topological color codes and relax the assumption of translation invariance. Using a linear algebraic framework we show that any 2D color code (without boundaries) is locally equivalent to two copies of a related surface code. This surface code is induced by color code. We study the application of this equivalence to the decoding of 2D color codes over the bit flip channel as well as the quantum erasure channel. We report the performance of the color code on the square octagonal lattice over the quantum erasure channel. Further, we provide explicit circuits that perform the transformation between 2D color codes and surface codes. Our circuits do not require any additional ancilla qubits.

연구 동기 및 목표

• 이 translational invariance(이동 대칭성)이 필요 없이도 2D 색 코드와 표면 코드 사이의 국소적 등가성을 확립하는 것.
• 기존 표면 코드 디코딩 알고리즘을 활용하여 2D 색 코드의 디코딩을 가능하게 하는 것.
• 색 코드와 표면 코드 간의 변환을 위한 명시적이고 앤실리가 없는 양자 회로를 개발하는 것.
• 제안된 등가성에 기반하여 양자 소실 채널에서 색 코드의 성능을 분석하는 것.
• 색 코드의 오류 모델을 표면 코드로 매핑하여 디코더 설계를 안내하는 것.

제안 방법

• 선형 대수적 프레임워크를 사용하여 2D 색 코드와 관련된 표면 코드의 두 복제본 사이의 전단사적 국소 유니타리 변환을 정의한다.
• CNOT, SWAP, Hadamard 게이트를 사용하여 O(n) 게이트 복잡도로 코드 변환을 구현하는 명시적인 양자 회로를 구성한다.
• 논리 연산자와 스터비라이저를 코드 간에 매핑하기 위해 U, V, SWAP, H 게이트의 순서를 정의한다.
• 단일 큐비트 오류와 소실에 대해 변환을 적용하여 색 코드 표현과 표면 코드 표현 간의 오류 매핑을 보여준다.
• 매핑을 통해 표면 코드 디코더를 색 코드 디코딩에 적응시킬 수 있도록 하며, 특히 하드 디시전 및 소실 채널에서 효과적이다.
• 디코더 호환성과 성능의 정밀도를 확보하기 위해 오류 모델 변환을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 대칭성이 없더라도 2D 색 코드가 표면 코드와 국소적으로 등가가 될 수 있는가?
• RQ2 국소적 등가성은 어떻게 활용하여 표면 코드 디코더를 사용해 색 코드를 디코딩할 수 있는가?
• RQ3 색 코드와 표면 코드 간의 변환에 대한 게이트 복잡도는 무엇이며, 최적화가 가능한가?
• RQ4 색 코드에서의 단일 큐비트 X/Z 오류와 소실은 어떻게 표면 코드의 오류로 매핑되는가?
• RQ5 표면 코드 등가성을 통해 디코딩될 경우, 2D 색 코드의 양자 소실 채널에서의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 2D 색 코드는 이동 대칭성이 필요 없이 관련된 표면 코드의 두 복제본과 국소적으로 등가이다.
• n 큐비트를 가진 코드에 대해 O(n) CNOT, SWAP, Hadamard 게이트를 사용하는 앤실리가 없는 양자 회로로 변환이 실현된다.
• 정사각형-팔각형 격자 색 코드의 경우, ℓ_f = 4 및 m_f = 2일 때 n 개의 CNOT, n/4 개의 SWAP, n/2 개의 Hadamard 게이트를 사용한다.
• 논리 연산자와 스터비라이저가 유지되므로, 표면 코드 디코더를 색 코드 디코딩에 직접 사용할 수 있다.
• 시뮬레이션 결과는 등가성이 비트 플립 및 양자 소실 채널에서 효과적인 디코딩을 가능하게 하며, 특히 소프트 디시전 또는 상관 오류 모델에서 뛰어난 성능을 보임을 시사한다.
• 색 코드에서의 단일 큐비트 X/Z 오류와 소실은 체계적으로 표면 코드의 해당 오류로 매핑되며, 오류 모델 이행을 촉진한다.