[논문 리뷰] On the local $M$-derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 3인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 한 개의 매개변수를 가진 미타그레플레르 함수를 포함시켜 카투감폴라의 대체 분수도함수를 일반화하는 새로운 분수도함수 $\mathscr{D}_{M}^{eta,\alpha}$를 제안한다. 이 도함수는 선형성, 연쇄법칙, 상수의 도함수가 0이 되는 등의 정수계 미분법의 핵심 성질을 유지하며, 롤의 정리와 평균값 정리와 같은 고전적 정리들을 분수 도함수의 맥락으로 확장한다. $\alpha = 1$ 이고 미타그레플레르 매개변수 값이 1일 경우, 이는 일반적인 일阶 도함수로 축소된다.

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

연구 동기 및 목표

• 한 개의 매개변수를 가진 미타그레플레르 함수를 사용하여 카투감폴라의 대체 분수도함수를 일반화하는 새로운 분수도함수를 개발하는 것.
• 분수미분법 프레임워크 내에서 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙 등의 정수계 미분법의 기본 성질을 유지하는 것.
• 이 새로운 도함수를 사용하여 고전적 정리인 롤의 정리와 평균값 정리를 분수 설정으로 확장하는 것.
• 분수도함수가 $\alpha = 1$ 이고 미타그레플레르 매개변수가 1일 경우 일반 도함수로 복원됨을 보장하여 고전적 미분법과의 일致성을 확보하는 것.
• 해당 분수적 적분을 수립하고, 역전의 성질 및 부분적분 정리와 같은 새로운 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 새로운 도함수 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 는 한 개의 매개변수를 가진 미타그레플레르 함수를 사용하여 정의되며, $M$ 은 함수의 참여를 나타낸다.
• $\alpha$ 는 $0 < \alpha \leq 1$ 이며 도함수의 차수를 제어하고, $\beta > 0$ 은 스케일링 매개변수이다.
• 이 도함수는 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 함수의 복합, 연쇄법칙 등의 핵심 미분 법칙을 만족하도록 구성된다.
• 정의에 의해 상수의 도함수가 0이 되며, 캄투 도함수와 유사한 행동을 보인다.
• 분수적 적분은 역연산으로서 유도되며, 기본정리의 일반화와 부분적분의 일반화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카투감폴라의 대체 도함수를 일반화하면서도 한 개의 매개변수를 가진 미타그레플레르 함수를 통합할 수 있는 분수도함수는 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ2 새로운 도함수가 정수계 미분법의 핵심 성질인 연쇄법칙과 상수의 도함수가 0인 성질을 유지하는가?
• RQ3 롤의 정리와 평균값 정리와 같은 고전적 정리는 이 새로운 분수도함수 프레임워크로 확장될 수 있는가?
• RQ4 $\alpha = 1$ 이고 미타그레플레르 매개변수가 1일 경우 도함수는 어떻게 되는가—일반 도함수로 복원되는가?
• RQ5 해당 분수적 적분으로부터 어떤 새로운 결과가 도출되는가—특히 기본정리의 역전 및 부분적분에 관한 것인가?

주요 결과

• 새로운 도함수 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 는 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 함수 복합, 연쇄법칙을 모두 만족하여 고전적 미분법과의 일관성을 확보한다.
• 상수의 도함수가 0이 되며, 캄투 도함수와 일치하고 미분의 기본 성질을 유지한다.
• $\alpha = 1$ 이고 미타그레플레르 매개변수가 1일 경우, 도함수는 정확히 일반적인 일계 도함수로 축소된다.
• 롤의 정리와 평균값 정리와 같은 고전적 정리는 이 도함수를 사용하여 분수 설정으로 일반화된다.
• 해당 분수적 적분은 기본정리의 일반화된 역전을 가능하게 하고, 부분적분과 유사한 새로운 정리를 이끌어낸다.