[논문 리뷰] On the Newton stratification in the good reduction of Shimura varieties

Paul Hamacher|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p$에서 고정된 초특수 수준 구조를 가진 히지프 타입 셰이머 다양체에 대해 만타반의 거의 곱 구조와 카라이아니-슐로체의 무한 수준 곱 구조를 일반화하며, 뉴턴 층의 퍼펙션은 중심 리브와 라포포르트-지크 공간의 곱과 프로-에테일 국소적으로 동형임을 증명한다. 핵심 결과는 무한 수준의 이구사 다양체와 무한 수준의 라포포르트-지크 공간 사이의 동형을 수립하여, 퍼펙티드 수준에서 셰이머 다양체의 일반성 섹션에 곱 구조를 도출한다.

ABSTRACT

I construct a generalisation of Mantovan's almost product structure to Shimura varieties of Hodge type with hyperspecial level structure at $p$ and deduce that the perfection of the Newton strata are pro-étale locally isomorphic to the perfection of the product of a central leaf and a Rapoport-Zink space. The almost product formula can be extended to obtain an analogue of Caraiani's and Scholze's generalisation of the almost product structure for Shimura varieties of Hodge type.

연구 동기 및 목표

• PEL 타입 셰이머 다양체에 대한 만타반의 거의 곱 구조를 $p$에서 고정된 초특수 수준 구조를 가진 히지프 타입 셰이머 다양체로 확장하기.
• 카라이아니와 셸로체의 무한 수준 곱 구조를 히지프 타입 설정으로 일반화하기.
• 뉴턴 층의 퍼펙션과 중심 리브와 라포포르트-지크 공간의 곱 사이의 프로-에테일 국소 동형을 확립하기.
• 무한 수준의 이구사 다양체와 무한 수준의 라포포르트-지크 공간 및 중심 리브의 곱 사이의 형식 스킴 간 전역 동형을 구축하기.
• 아디크 일반성 섹션 구축법과 퍼펙티드 기하학을 사용하여 일반성 섹션의 곱 구조를 유도하기.

제안 방법

• 중앙 리브 $C$ 위에서 유한 대 유한 대응관계의 가속화된 가족으로서 Igusa 다양체의 탑 $\mathscr{J}_m^{(p^{-N})}$을 구성하기.
• Igusa 다양체의 퍼펙션 $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ 과 무한 수준의 라포포르트-지크 공간 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$을 사용하여 뉴턴 층의 퍼펙션 $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$로의 대응관계 정의하기.
• 사상 $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ 가 크리스탈린 테이트 텐서를 가진 바르소티-테이트 군의 자기-준등장사상군에 대한 토르서임을 보이기.
• 사상 $r_\infty^{(p^{-\infty})}$ 가 동일한 바르소티-테이트 군의 자기동형사상군에 대한 토르서임을 보이기.
• $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 위로의 $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ 의 평탄한 업그레이드 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b}$ 를 구성하고, 이에 대응하는 라포포르트-지크 공간 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$ 를 정의하기.
• 에테일 및 노일포텐트 기법을 사용하여, 형식 스킴으로서의 자연스러운 사상 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \to \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$ 가 $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 위에서 동형임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PEL 타입 셰이머 다양체에 대한 만타반의 거의 곱 구조는 $p$에서 고정된 초특수 수준 구조를 가진 히지프 타입 셰이머 다양체로 확장 가능한가?
• RQ2 카라이아니와 셸로체의 무한 수준 곱 구조는 히지프 타입 설정으로 확장 가능한가?
• RQ3 히지프 타입 셰이머 다양체의 좋은 감소에서 뉴턴 층의 퍼펙션은 중심 리브와 라포포르트-지크 공간의 곱과 프로-에테일 국소적으로 동형인가?
• RQ4 뉴턴 층 위에서의 유일한 $p$-나누어떨어지는 군의 자명화 모듈리 공간은 이구사 다양체와 라포포르트-지크 공간과 함께 전역 곱 구조를 갖는가?
• RQ5 퍼펙티드 공간의 관점에서 뉴턴 층의 일반성 섹션의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 뉴턴 층의 퍼펙션 $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$ 은 중심 리브 $C$ 와 라포포르트-지크 공간 $\mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$ 의 곱 $C^{(p^{-\infty})} \times \mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$ 와 프로-에테일 국소적으로 동형이다.
• $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 위에서 형식 스킴 간의 자연스러운 동형 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$ 이 존재하며, 이는 전역 곱 구조를 수립한다.
• 이 동형의 아디크 일반성 섹션은 사상 $Ig^\mathbf{b} \times M_{G,\mu,\infty}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} X_\infty^\mathbf{b}$ 를 유도하며, 이는 $X_\infty^\mathbf{b}$ 가 프리퍼펙티드임을 보여준다.
• 사상 $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ 는 크리스탈린 테이트 텐서를 가진 유일한 $p$-나누어떨어지는 군의 자기-준등장사상군에 대한 토르서이다.
• 사상 $r_\infty^{(p^{-\infty})}$ 는 동일한 $p$-나누어떨어지는 군의 자기동형사상군에 대한 토르서이다.
• 이 구성은 기저가 되는 기약 부분스킴과 제한된 형식적 이웃 영역에 대해 동형을 유도하므로, 에테일이며 따라서 자코브슨 스킴에서 동형이다.