[논문 리뷰] Rapoport-Zink spaces of Hodge type

Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $p > 2$ 인 $ℚ_p$ 위의 무분비 재구성군에 대해 Hodge 유형의 Rapoport-Zink 공간을 구성한다. 이는 $p$-나누어지는 군과 크리스탈린 테이트 텐서, 일치하는 호지 필터링을 매개하는 형식 스킴으로 정의된다. 주요 결과는 무분비 Hodge 유형 국소 셰이머 다양체를 실현하는 형식적으로 매끄러운 모듈리 공간을 확립하며, 이는 이전의 EL/PEL 사례를 초월하여 일반화된 구축을 가능하게 한다.

ABSTRACT

When $p>2$, we construct a Hodge-type analogue of Rapoport-Zink spaces under the unramifiedness assumption, as formal schemes parametrising "deformations" (up to quasi-isogeny) of $p$-divisible groups with certain crystalline Tate tensors. We also define natural rigid analytic towers with expected extra structure, providing more examples of "local Shimura varieties" conjectured by Rapoport and Viehmann.

연구 동기 및 목표

• 무분비 Hodge 유형 국소 셰이머 자료를 위한 $p$-진 국소 해석적 유사체를 $p$-나누어지는 군과 크리스탈린 테이트 텐서를 사용하여 구성한다.
• Frobenius-불변 텐서와 일치하는 호지 필터링을 갖춘 $p$-나누어지는 군의 변형(준등형사상에 대해) 모듈리 공간을 정의한다.
• 기본 필드 위의 강체 해석적 타워를 통해 무분비 Hodge 유형 국소 셰이머 자료에 대한 추측된 '국소 셰이머 다양체'를 실현한다.
• EL 및 PEL 유형을 초월하여, 예를 들어 랭크 $\geq 7$ 인 스피너 유사군의 경우를 포함한 Rapoport-Zink 구축을 확장한다.
• 보조 선택 사항에 대한 함수적 성질과 독립성을 확립하며, 예외적 동형사상에 의한 기여도를 포함한다.

제안 방법

• 크리스탈린 디외드니 이론을 사용하여, 형식 스킴 위의 $p$-나누어지는 군에 $F$-크리스탈과 Frobenius-불변 텐서를 연결한다.
• 공액류 $\{\mu\}$에 속하는 코캐릭터를 사용하여 변형 조건을 도입하여 테이트 텐서와 호지 필터링을 유지한다.
• $p$에 의해 생성되는 근사 아이디얼에 대해 유효한, Grothendieck-Messing 변형 이론을 적용한다. 이는 $p > 2$ 인 경우에만 유효하다.
• 모듈리 공간 $\mathtt{RZ}_{G,b}$를 원래의 Rapoport-Zink 공간 $\mathtt{RZ}_{\mathbb{X}}$의 닫힌 형식 부분스킴으로 구성한다.
• 크리스탈린 비교 동형사상 $K_0 \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}[1/p]} \mathfrak{M}$ 과 $D_{\mathrm{cris}}(V(X)^*)$를 통해 $p$-진 호지 구조와 키신 모듈 간의 관계를 설정한다.
• 등식 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M} \cong \mathbb{D}(Y)(W)$를 사용하여 정수적 구조를 올리고, 테이트 텐서의 정수성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무분비 재구성군에 대해 EL 및 PEL 유형을 초월하는 Hodge 유형의 Rapoport-Zink 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 $p$-나누어지는 군의 변형에서 크리스탈린 테이트 텐서를 정의하고 유지할 수 있는가?
• RQ3 이러한 $p$-나누어지는 군의 모듈리 공간이, 예를 들어 $p$-나누어지는 군 $\mathbb{X}$의 선택과 같은 보조 선택 사항에 대해 얼마나 독립적인가?
• RQ4 무분비 Hodge 유형 국소 셰이머 자료에 대한 추측된 '국소 셰이머 다양체'는 강체 해석적 타워를 통해 실현될 수 있는가?
• RQ5 모듈리 공간에서 $p$-나누어지는 군의 호지 필터링을 제어하는 데 코캐릭터 $\mu$의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathtt{RZ}_{G,b}$는 $\widehat{\mathbb{Z}}_p^{\mathrm{ur}}$ 위에서 형식적으로 매끄럽고, $\mathbb{X}$의 선택과 무관하게 오직 무분비 Hodge 유형 국소 셰이머 자료 $(G,[b],\{\mu^{-1}\})$에 의존한다.
• $p > 2$ 인 경우, $\mathtt{RZ}_{G,b}$의 일반 성분 위에 강체 해석적 타워를 구성하여 Rapoport와 Viehmann의 추측된 '국소 셰이머 다양체'를 실현한다.
• 공간 $\mathtt{RZ}_{G,b}$는 Proposition 4.7.1에서 보여지듯이, EL 및 PEL 사례에서 고전적 Rapoport-Zink 공간을 복원한다.
• 이 구축은 $\mathrm{GSp}(V)$ 및 $\mathrm{GSpin}(V)$와 같은 군에 적용되며, $\dim V \geq 7$ 인 경우에 대해 EL 또는 PEL 유형이 아닌 경우에도 적용 가능하다.
• 에테일 실현의 정수성은 크리스탈린 비교 동형사상과 키신 모듈 포함에서 코어널의 $p$- torsion-free 성질을 통해 증명된다.
• 등식 $W \otimes_{\sigma,\mathfrak{S}} \mathfrak{M}(T(Y)^*) \cong \mathbb{D}(Y)(W)$는 $F$-크리스탈 위의 호지 필터링을 유도하며, 크리스탈린 코homology와의 호환성을 확인한다.