[논문 리뷰] On the noncommutative residue for pseudodifferential operators with log-polyhomogeneous symbols

Matthias Lesch|ArXiv.org|1997. 08. 13.

Advanced Operator Algebra ResearchMathematics참고 문헌 13인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 로그다항동차 계수를 가진 미분형식의 대수를 도입하고, 이에 대해 일반화된 비가환 잔여치를 수립한다. 이 대수는 고차 로그항의 존재로 인해 비자명한 추적을 갖지 못하지만, 고차 비가환 잔여치 함수형식의 계층이 존재하며, Kontsevich–Vishik 추적은 이 설정으로 자연스럽게 확장되며, zeta 함수의 유수적 연속을 통한 추적 함수형식을 제공한다.

ABSTRACT

We study various aspects of the noncommutative residue for an algebra of pseudodifferential operators whose symbols have an expansion $a\sim \sum_{j=0}^\infty a_{m-j}, a_{m-j}(x,ξ)=\sum_{l=0}^k a_{m-j,l}(x,ξ) \log^l|ξ|,$ where $a_{m-j,l}$ is homogeneous in $ξ$ of degree $m-j$. We will explain why this algebra of pseudodifferential operators is natural. For a pseudodifferential operator in this class, $A$, and a classical elliptic pseudodifferential operator, $P$, we show that the generalized zeta-function $\Tr(AP^{-s})$ has a meromorphic continuation to the whole complex plane, however possibly with higher order poles. Our algebra of operators has a bigrading given by the order and the highest log-power occuring in the symbol expansion. We construct "higher" noncommutative residue functionals on the subspaces given by the log-grading. However, in contrast to the classical case we prove that the whole algebra does not admit any nontrivial traces. Finally we show that the analogue of the Kontsevich-Vishik trace also exists on our algebra. Our method also provides an alternative approach to the Kontsevich-Vishik trace.

연구 동기 및 목표

• . 로그다항동차 계수를 가진 자연스러운 미분형식 대수를 정의하고, 고전 이론을 확장한다.
• . 심플렉틱 콘 위의 로그다항동차 함수에 대해 심플렉틱 잔여치와 비가환 잔여치를 일반화한다.
• . 로그거듭제곱 등급에 따라 인덱싱된 고차 비가환 잔여치 함수형식을 구성한다.
• . 고차 로그항이 열화 전개에 존재함으로써 전체 대수가 비자명한 추적을 갖지 못함을 증명한다.
• . 일반화된 zeta 함수의 유수적 연속을 사용하여 Kontsevich–Vishik 추적을 이 대수로 확장한다.

제안 방법

• . 로그다항동차 계수를 동차 성분의 전개에 log|ξ|의 거듭제곱을 곱하여 정의한다.
• . 심플렉틱 콘 위의 로그다항동차 함수에 대해 심플렉틱 잔여치를 일반화하고, 파oisson 괄호 합의 장애를 밝힌다.
• . 멜린 변환을 사용하여 일반화된 ζ-함수 Tr(AP−s)를 로그항이 포함된 열화 전개와 연결한다.
• . 로그거듭제곱 등급에 따라 분할된 부분공간에 대해 고차 비가환 잔여치 함수형식 Resk를 정의하고, 이들이 교환자에서 0이 됨을 증명한다.
• . CLa,k에 속하는 연산자에 대해 Tr(AP−s)의 복소수 전체에서의 유수적 연속을 증명하며, 극의 차수는 최대 k+1이다.
• . Tr(AP−s)를 s=0에서의 평가를 통해 Kontsevich–Vishik 추적을 구성하고, 이가 추적 및 국소성 성질을 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 비가환 잔여치는 로그다항동차 계수를 가진 미분형식에 대해 일반화될 수 있으며, 이 설정에서 추적의 장애는 무엇인가?
• RQ2 . 열화 전개의 고차 로그항은 미분형식 대수에서 추적의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 . 로그거듭제곱 등급에 대응하는 잔여치 함수형식의 계층이 존재하는가, 그리고 이들은 교환자에서 0이 되는가?
• RQ4 . Kontsevich–Vishik 추적은 이 대수로 확장될 수 있으며, zeta 함수 정규화를 통해 특징지을 수 있는가?
• RQ5 . 심플렉틱 잔여치는 로그다항동차 함수가 파oisson 괄호의 합이 되지 못하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• . 로그다항동차 미분형식에 대해 일반화된 ζ-함수 Tr(AP−s)는 복소수 전체로의 유수적 연속을 가지며, 극의 차수는 최대 k+1이다.
• . 로그다항동차 미분형식의 전체 대수는 고차 로그항의 존재로 인해 비자명한 추적을 갖지 못한다.
• . 로그거듭제곱 등급에 따라 분할된 부분공간에 대해 고차 비가환 잔여치 함수형식 Resk의 계층이 존재하며, 이들은 교환자에서 0이 된다.
• . Kontsevich–Vishik 추적은 이 대수로 확장되며, 타원형 P에 대해 TR(A) = Tr(AP−s)|s=0로 특징지어진다.
• . 함수형식 Resk는 holomorphic family에 대해 다음 관계를 만족한다: Resk+1(TR(A(z)))|z=ν = (−1)k+1/(k+1) × Resk(A(ν)).
• . 심플렉틱 콘 위의 로그다항동차 함수에 대해 심플렉틱 잔여치는 이러한 함수가 파oisson 괄호의 합이 되지 못하게 하는 장애를 제공하며, 고전적 경우를 일반화한다.