[논문 리뷰] On the optimal constants in Korn's and geometric rigidity estimates, in bounded and unbounded domains, under Neumann boundary conditions

Marta Lewicka, Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전체 평면 ℝ²에서 기하학적 강성도 추정의 최적 상수를 √2로 확립하고, 유계 도메인에서 탄성 경계 조건(노이만형) 하에 코른 상수가 최소 √2임을 증명하며, 등호가 성립하는 조건은 최적 변형이 달성될 때에 한하여 성립함을 보였다. 이 작업은 선형 및 비선형 탄성 추정 간의 연결을 다루며, 최적화된 필드의 달성 가능성과 구조를 특성화한다.

ABSTRACT

We are concerned with the optimal constants: in the Korn inequality under tangential boundary conditions on bounded sets $Ω\subset \mathbb{R}^n$, and in the geometric rigidity estimate on the whole $\mathbb{R}^2$. We prove that the latter constant equals $\sqrt{2}$, and we discuss the relation of the former constants with the optimal Korn's constants under Dirichlet boundary conditions, and in the whole $\mathbb{R}^n$, which are well known to equal $\sqrt{2}$. We also discuss the attainability of these constants and the structure of deformations/displacement fields in the optimal sets.

연구 동기 및 목표

• 유계 리프시츠 도메인 ℝⁿ에서 접선(노이만형) 경계 조건 하에 코른 부등식의 최적 상수를 결정하는 것.
• 기존 딜리클레 조건에서의 결과를 노이만 조건으로 확장하여 전체 공간 ℝ²에서의 최적 기하학적 강성도 상수를 확립하는 것.
• 최적 코른 상수가 정확히 √2가 되는 조건과 그것이 초과되는 조건을 특성화하고, 최소화자의 구조를 분석하는 것.
• 코른 및 기하학적 강성도 추정에서 상한의 달성 가능성과 극값 필드의 공간을 조사하는 것.
• 유계 도메인에서 최적 상수의 행동이 ℝⁿ 및 전체 공간에서의 대응 상수와 어떻게 연결되는지 조사하는 것.

제안 방법

• 단위 대칭 기울기를 가지며 접선 경계 조건을 만족하는 필드에 대한 상한을 통한 최적 상수의 변분적 특성화를 사용한다.
• 푸리에 분석과 플랑카렐 정리를 사용하여 ℝ² 내의 벡터장에 대해 (5.20)의 컬-프리 시스템을 해결한다.
• 기울기를 대칭 및 반대칭 부분으로 분해: ∇u = (u)ᶜ + (u)ᵃ, 여기서 (u)ᶜ ∈ SO(2)이고 (u)ᵃ는 추적을 가지지 않는 대칭이다.
• 기하학적 강성도 추정을 분석하기 위해 ∇u = R(α) + g로 분해하며, R(α) ∈ SO(2)이고 g ∈ L²(ℝ²)이다.
• L² 노름에서 회전 및 비편이 성분을 분리하기 위해 항등식 ‖∇u − R‖² = ‖(∇u)ᶜ − R‖² + ‖(∇u)ᵃ‖²를 적용한다.
• 푸리에 변환을 사용하여 f = (sin α, cos α − 1)ᵀ에 대해 ∂₁g₂ − ∂₂g₁ = ∂₁f₂ − ∂₂f₁ 및 ∂₁g₁ + ∂₂g₂ = ∂₁f₁ + ∂₂f₂ 시스템을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 조건이 없는 전체 ℝ²에서 기하학적 강성도 추정의 최적 상수는 무엇인가?
• RQ2 유계 도메인에서 접선(노이만형) 경계 조건 하에 코른 상수는 전역 상수 √2와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 최적 코른 상수가 정확히 √2가 되는 조건은 무엇이며, 언제는 그것보다 엄격히 큰가?
• RQ4 코른 부등식에서 상한이 언제 달성되며, 극값 필드의 구조는 어떠한가?
• RQ5 ℝ²에서 최적 상수 √2는 어떤 R₀ ∈ SO(2)에 대해 ∇u − R₀ ∈ L²(ℝ²)를 만족하는 필드에 의해 달성될 수 있는가?

주요 결과

• ℝ²에서 기하학적 강성도 추정의 최적 상수는 정확히 √2이며, 이 상한은 날카롭다.
• 모든 유계 리프시츠 연결 도메인 Ω ⊂ ℝⁿ에 대해 접선 경계 조건 하에 코른 상수 κ(Ω) ≥ √2를 만족한다.
• 상수 κ(Ω)가 √2와 같음은, ∇uₖ → 0 약한 수렴, ‖D(uₖ)‖_{L²} = 1, 그리고 ‖∇uₖ‖_{L²} → √2를 만족하는 필드 수열 uₖ가 존재할 때에 한하여 성립한다.
• κ(Ω) > √2이면, 코른 부등식에서 상한이 달성되며, 극값 필드의 집합은 W¹,²(Ω, ℝⁿ)의 유한 차원 닫힌 부분공간을 이룬다.
• ℝ²에서 최적 상수 √2는 ∇u = R(α) + g인 필드에 의해 달성되며, 여기서 R(α) − R₀ ∈ L²(ℝ²)이고 g ∈ L²(ℝ²), α ∈ L²(ℝ²)이다.
• 극값 필드는 ∇u = R(α) + g를 만족하며, R(α) ∈ SO(2), g ∈ L²(ℝ²), 그리고 ∫|∇u − R₀|² = 2∫dist²(∇u, SO(2)) = 2∫(a² + b²)를 만족한다. 여기서 (a,b)는 g의 성분이다.