[논문 리뷰] On the optimal controllability time for linear hyperbolic systems with time-dependent coefficients

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일차원에서 시간에 의존하는 제로차수 계수를 가진 선형 쌍곡계에 대한 최적의 제어 가능 시간을 조사한다. 조건부로 매끄러운 시간에 의존하는 계수는 시간 불변의 경우에 비해 영 제어 가능성에 필요한 최소 시간을 크게 증가시킬 수 있음을 보여주지만, 계수가 시간에 대해 해석적이라면 최적 시간은 고전적인 시간 불변 값으로 되돌아오며, 이는 매끄럽고 해석적 설정 간의 뚜렷한 대비를 보인다.

ABSTRACT

The optimal time for the controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space with one-side controls has been obtained recently for time-independent coefficients in our previous works. In this paper, we consider linear hyperbolic systems with time-varying zero-order terms. We show the possibility that the optimal time for the null-controllability becomes significantly larger than the one of the time-invariant setting even when the zero-order term is indefinitely differentiable. When the analyticity with respect to time is imposed for the zero-order term, we also establish that the optimal time is the same as in the time-independent setting.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 제로차수 계수가 일차원 쌍곡계의 최적의 제어 가능 시간에 어떻게 영향을 미치는지 규명하는 것.
• 매끄러운(C∞) 시간에 따라 변하는 계수가 시간 불변의 경우보다 더 큰 최적의 제어 가능 시간을 초래할 수 있는지 조사하는 것.
• 시간에 따라 변하는 계수가 존재하더라도 최적 시간이 그대로 유지되는 조건을 설정하는 것, 특히 계수가 시간에 대해 해석적일 경우에 중점을 두는 것.
• 해석성이 시간에 따라 변하는 동역학 하에서 제어 가능성 성질을 유지하는 데서의 역할을 명확히 하는 것.
• 기존의 시간 불변 시스템에 대한 알려진 제어 가능성 결과를 시간에 의존하는 설정으로 확장하고, 최소 제어 시간의 정확한 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 쌍곡계를 전진 및 후진 전파 파동으로 분리하기 위해 리만 좌표를 사용한다.
• 특성 방법과 에너지 추정을 적용하여 해의 전파 및 시간에 의존하는 제로차수 항의 영향을 연구한다.
• 해가 시간과 공간에서 연속적인 L² 공간에서 잘 정의된 광범위한 해의 존재성을 확립하여 해의 정(regularity)을 보장한다.
• 해석적 설정에서는 유일한 연장 원리를 사용하여 최소 시간 내에 영으로 이끌 수 있는 상태를 특성화한다.
• 핵심 기술 도구로 쌍대 문제의 구성과 카르레만 추정을 사용하여 T_opt 시간 내의 제어 가능성을 증명한다.
• 해의 해석적 및 매끄러운 계수 간의 차이를 시간에 의존하는 변화에 대한 해의 행동 분석을 통해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 속도에 영향을 주지 않음에도 불구하고, 매끄러운 시간에 따라 변하는 제로차수 계수가 최적의 제어 가능 시간을 시간 불변의 경우를 초월해 증가시킬 수 있는가?
• RQ2 매끄러운 시간에 따라 변하는 계수를 가진 쌍곡계에 대해 영 제어 가능성을 달성하기 위한 최소 시간은 얼마인가?
• RQ3 제로차수 계수가 시간에 대해 해석적이라면, 시간 불변의 경우에서 관찰된 고전적인 최적의 제어 가능 시간이 복원되는가?
• RQ4 특히 전진 및 후진 파동 간의 결합 구조가 제어 가능 시간에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 선형 쌍곡계의 제어 가능성 성질이 시간에 따라 변하는 계수의 정(regularity)에 따라(매끄러움 대 해석성) 얼마나 의존하는가?

주요 결과

• 매끄러운 시간에 따라 변하는 제로차수 계수를 가진 쌍곡계의 최적의 제어 가능 시간은 시간 불변의 최적 시간보다 엄격히 클 수 있다. 이는 계수가 시간에 대해 C∞임에도 불구하고 성립한다.
• 이러한 최적 시간의 증가는 제로차수 항이 시스템의 특성 속도에 영향을 주지 않는다는 사실에도 불구하고 발생한다.
• 제로차수 계수가 시간에 대해 해석적일 경우, 최적의 제어 가능 시간은 고전적인 값 T_opt = τ_k + τ_{k+1}으로 되돌아오며, 시간 불변의 경우와 일치한다.
• 이 결과는 쌍곡 제어 가능성의 맥락에서 매끄럽고 해석적인 시간에 따라 변하는 계수 간의 근본적인 차이를 보여준다.
• 분석을 통해 해석성이 최소 제어 가능 시간을 유지하는 데 충분한 조건임을 확인하였으며, 선형 제어 시스템에서 알려진 성질을 확장한다.
• 논문은 해석적 설정에서 T_opt 시간에 영 제어 가능성이 가능하며, 시간 불변의 경우와 동일한 조건 하에서 정확한 제어 가능성이 성립함을 확립한다.