[논문 리뷰] On the optimality of Periodic barrier strategies for a spectrally positive Lévy process

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 26.

Probability and Risk Models참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 파oisson 관측에 기반한 배당 결정 하에서 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에서의 배당 분배에 대해 주기적 장벽 전략의 최적성을 확립한다. 척도 함수를 사용하여, 파산 보상이 있는지 여부에 따라 최적의 장벽과 가치 함수를 유도하며, 가치 함수가 유한 변동성의 경우 C², 무한 변동성의 경우 C³임을 증명하고, 매끄러운 접합과 마틴갈 방법을 통해 최적성의 타당성을 검증한다.

ABSTRACT

We study the optimal dividend problem in the dual model where dividend payments can only be made at the jump times of an independent Poisson process. In this context, Avanzi et al. [5] solved the case with i.i.d. hyperexponential jumps; they showed the optimality of a (periodic) barrier strategy where dividends are paid at dividend-decision times if and only if the surplus is above some level. In this paper, we generalize the results for a general spectrally positive Levy process with additional terminal payoff/penalty at ruin, and also solve the case with classical bail-outs so that the surplus is restricted to be nonnegative. The optimal strategies as well as the value functions are concisely written in terms of the scale function. Numerical results are also given.

연구 동기 및 목표

• Avanzi 등(2016)의 초기수분포를 가진 점프에 대한 결과를 일반적인 스펙트르ально 양성 Lévy 과정으로 일반화하고, 파산 시 종료 지급/보상이 존재하는 경우를 고려한다.
• 기존의 자본 보충(클래식한 불출입)의 경우로 분석을 확장하여, 자본금이 항상 음수가 되지 않도록 보장한다.
• 두 모델 모두에 대해 척도 함수를 사용하여 최적의 장벽과 가치 함수를 닫힌 형태로 도출한다.
• 매끄러운 접합 조건을 사용한 '추측하고 검증하는' 접근 방식을 통해 주기적 장벽 전략의 최적성을 검증한다.
• 해석적으로 다룰 수 있는 척도 함수를 가진 단계형 Lévy 과정을 사용하여 수치적 검증을 제공한다.

제안 방법

• 주기적 장벽 전략 하에서의 배당 기대 순현재가(NPV)를 표현하기 위해 척도 함수를 사용한다.
• 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 대한 변동 이론과 Avram 등(2016)의 파oisson 관측 과정에 대한 결과를 응용한다.
• '추측하고 검증하는' 방법의 적용: 먼저 매끄러운 접합 조건을 통해 최적의 장벽 $ b^* $ 를 추측하고, 그 후 최적성 여부를 검증한다.
• 척도 함수를 사용하여 마틴갈을 구성하여 검증 단계를 완성한다.
• 반동성 및 점프 성분을 가진 반마르코프 과정에 대해 Meyer-Itô의 공식과 Itô의 보조정리를 적용한다.
• 수치 실험을 통해 분석 결과의 타당성을 검증하고, 배당 결정 빈도가 증가함에 따라 수렴하는 경향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배당이 파oisson 도착 시점에만 지급되는 일반적인 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에서 주기적 장벽 전략이 최적일 수 있는가?
• RQ2 파산 시 종료 지급 또는 보상이 포함될 경우 최적의 장벽과 가치 함수는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 기존의 자본 보충을 통해 파산을 방지하는 조건 하에서 척도 함수를 사용하여 최적 전략을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 경로의 변동성에 따라 가치 함수가 보여주는 정규성 성질(예: C² 또는 C³)은 어떠한가?
• RQ5 Lévy 과정이 무한히 증가하는 경우 최적의 장벽은 어떻게 행동하며, '전부 다 빼앗고 도망치기' 전략(즉, $ b^* = 0 $)이 최적일 수 있는 조건은 언제인가?

주요 결과

• 최적의 장벽 $ b^* $ 는 변동성이 유한한 경우 가치 함수가 C²가 되도록, 변동성이 무한한 경우 C³가 되도록 선택된다.
• 주기적 장벽 전략 하에서의 가치 함수는 해밀턴-자코비-벨리만 방정식의 해임을 입증하였으며, 마틴갈 기법을 통해 최적성의 타당성이 검증되었다.
• '전부 다 빼앗고 도망치기' 전략(즉, $ b^* = 0 $)은 Lévy 과정이 무한히 증가하는 경우에도 최적일 수 있으며, 이는 고전적 모델에서는 관찰되지 않는 현상이다.
• 자본 보충 모델의 경우 최적의 장벽 $ b^lat $ 는 유사한 방식으로 유도되며, 가치 함수는 첫 번째 모델과 유사한 형태를 띠지만 다른 장벽 수준을 가진다.
• 수치 결과는 분석적 결과를 확인하였으며, 배당 결정의 빈도가 증가함에 따라 최적 전략이 수렴하는 경향을 보였다.
• 이전의 초기수분포 점프에 대한 결과를 일반화하였고, 이중 모델에서 주기적 배당 통제에 대한 척도 함수의 적용 범위를 확장하였다.