[논문 리뷰] On the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves

Roberto Fringuelli, Filippo Viviani|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 스킴 위에서 안정적이고 점이 찌른 곡선의 모듈리 스택의 피카르 군 스킴과 피카르 군을 계산하며, 기본 조건이 만족될 경우, 자유 아벨 군 $\Lambda_{g,n}$ 에서 피카르 군으로의 타우토로지컬 호모모르피즘은 동형임을 증명한다. 특히, 기저 스킴의 특성이 $2$ 가 아니거나 $g \leq 5$ 인 경우에 해당한다. 주요 결과는 특성이 $2$ 가 아니거나 $g \leq 5$ 인 체 위에서 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$ 와 $\mathcal{M}_{g,n}^k$ 의 피카르 군을 명시적으로 기술한 것으로, 생성자와 관계식이 명확히 규명되어 있다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to study the (abstract) Picard group and the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves over an arbitrary scheme. As a byproduct, we compute the Picard groups of the moduli stack of stable or smooth pointed curves over a field of characteristic different from two.

연구 동기 및 목표

• 임의의 스킴 $S$ 위에서 종수 $g$ 의 $n$-점이 찌른 안정적 곡선의 모듈리 스택 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S$ 의 피카르 군 스킴과 피카르 군을 기술하는 것.
• 상대 피카르 함수자와 그 fppf 셰이피케이션의 구조를 규명하여, $\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 에 군 스킴의 구조를 부여하는 것.
• 체 $k$ 위에서 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$ 와 $\mathcal{M}_{g,n}^k$ 의 피카르 군을 계산하며, 특성 또는 종수에 대한 조건을 만족할 경우를 고려하는 것.
• 주어진 가정 하에 타우토로지컬 호모모르피즘 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 가 군 스킴의 동형임을 확립하는 것.
• 타우토로지컬 선다발 $\lambda$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ 간의 관계를 군 $\Lambda_{g,n}$ 의 언어로 통일적으로 기술하는 것.

제안 방법

• 특성과 $n$ 에 따라 변화하는 명시적 관계식을 갖는 타우토로지컬 클래스 $\lambda$, $\delta_{\text{irr}}$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ 를 생성자로 갖는 아벨 군 $\Lambda_{g,n}$ 을 정의한다.
• 생성자를 해당 선다발로 보내는 타우토로지컬 호모모르피즘 $\overline{P}_{g,n}: \Lambda_{g,n} \to \operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 을 구성한다.
• $\overline{\phi}^*$ 를 통한 기저 체인지로 $S$ 에 대한 변환을 수행하여 $\overline{P}_{g,n}(S)$ 와 그 상대적 형태인 $\overline{P}_{g,n}^{\text{rel}}(S)$ 를 유도한다.
• fppf 셰이피케이션을 거쳐 타우토로지컬 $S$-사상 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 를 얻으며, 이는 군 스킴 호모모르피즘으로서의 성격을 갖는다.
• 기저 스킴 $S$ 가 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$ 위에 있거나 $g \leq 5$ 일 경우, 형식적 변형 이론과 형식적 군의 성질을 이용하여 $\Phi^S_{g,n}$ 가 동형임을 증명한다.
• 형식적 GAGA와 선다발의 올림에 대한 차단 이론을 활용하여, 필요한 경우에 대해 피카르 함수자의 평탄성과 표현 가능성(representability)을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 스킴 $S$ 위에서 타우토로지컬 호모모르피즘 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 가 군 스킴의 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특성이 $2$ 가 아니거나 $g \leq 5$ 인 체 $k$ 에 대해 피카르 군 $\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$ 의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 피카르 군 $\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$ 에서 타우토로지컬 선다발 $\lambda$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ 간의 정의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기저 스킴 $S$ 에 대한 상대 피카르 함수자 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S \to S$ 는 상수 군 스킴 $\underline{\Lambda_{g,n}}_S$ 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 부드러운 점이 찌른 곡선의 열린 부분스택 $\mathcal{M}_{g,n}^k$ 의 피카르 군은 $\lambda$ 와 $\psi_1, \dots, \psi_n$ 으로 생성되는가? 그리고 이들 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 기저 스킴 $S$ 가 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$ 위에 있거나 $g \leq 5$ 일 경우, 타우토로지컬 호모모르피즘 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 는 군 스킴의 동형이며, 이는 피카르 군 스킴의 완전한 기술을 제공한다.
• 특성이 $2$ 가 아니거나 $g \leq 5$ 인 임의의 체 $k$ 에 대해 피카르 군 $\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$ 는 유한 차수의 자유 아벨 군이며, (1.0.1)에 명시된 관계식을 갖는 타우토로지컬 클래스들에 의해 생성된다.
• 부드러운 곡선의 열린 부분스택 $\mathcal{M}_{g,n}^k$ 의 피카르 군 $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{g,n}^k)$ 은 $\lambda$ 와 $\psi_1, \dots, \psi_n$ 으로 생성되며, 관계식은 다음과 같다: $g=2$ 일 때 $10\lambda = 0$, $g=1$ 일 때 $12\lambda = 0$ 이고 $\lambda = \psi_1 = \cdots = \psi_n$, $g=0$ 일 때는 모든 관계식이 0이다.
• 동일한 조건 하에 군 스킴 $\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ 는 표현 가능하며, 상수 군 스킴 $\underline{\Lambda_{g,n}}_S$ 와 동형이다.
• 이 증명은 형식적 변형 이론, 형식적 GAGA, 그리고 형식 스킴 위에서 선다발의 올림에 대한 차단 이론에 기반하며, 특히 $\mathbb{G}_m$ 의 완비화와 코homological flatness 를 활용한다.
• 이 결과는 플루튼과 올슨슨이 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 에 대해 이전에 수행한 작업을 일반화하며, 타원 곡선의 경우를 초월하여 모든 $g,n$ 에 대해 약한 조건 하에 확장한다.