[논문 리뷰] On the power of function values for the approximation problem in various settings

Erich Novak, Henryk Woźniakowski|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 16.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간과 바나흐 공간에서 최악의 경우, 랜덤화된 경우, 평균의 경우 설정에서 함수 값과 임의의 선형 함수형 간의 상대적 효율성을 정량화하기 위해 거듭제곱 함수 ℓ를 도입한다. 이는 최악의 경우, 랜덤화된 경우, 평균의 경우 설정에서 함수 값이 일반 선형 정보와 동일한 수렴 속도를 갖는다는 것을 증명하며, 특히 힐버트 공간에서 p=2인 경우와 바나흐 공간에서 p=2인 경우에 대해 ℓ = 1임을 보이고, 아직 탐색되지 않은 경우에 대한 여덟 가지 열린 문제를 규명한다.

ABSTRACT

This is an expository paper on approximating functions from general Hilbert or Banach spaces in the worst case, average case and randomized settings with error measured in the $L_p$ sense. We define the power function as the ratio between the best rate of convergence of algorithms that use function values over the best rate of convergence of algorithms that use arbitrary linear functionals for a worst possible Hilbert or Banach space for which the problem of approximating functions is well defined. Obviously, the power function takes values at most one. If these values are one or close to one than the power of function values is the same or almost the same as the power of arbitrary linear functionals. We summarize and supply a few new estimates on the power function. We also indicate eight open problems related to the power function since this function has not yet been studied for many cases. We believe that the open problems will be of interest to a general audience of mathematicians.

연구 동기 및 목표

• 함수 값과 임의의 선형 함수형 간의 상대적 효율성을 다양한 설정에서 함수 근사에 대해 정량화하기 위해.
• 수렴 속도 비율을 사용하여 함수 값과 일반 선형 정보를 사용할 때의 비율로 정의된 거듭제곱 함수 ℓ를 정의하고 분석하기 위해.
• 함수 공간과 설정에서 함수 값이 일반 선형 정보와 동일한 수렴 속도를 갖는 조건(즉, ℓ = 1)을 규명하기 위해.
• 특히 p ≠ 2 이며 최악의 경우 설정에서의 거듭제곱 함수의 행동에 관한 열린 문제를 규명하고 기술하기 위해.

제안 방법

• 거듭제곱 함수 ℓ^sett-x(r,p)는 모든 힐버트 또는 바나흐 공간 F에 대해 표준 정보 속도 r^std-avg(F,L_p)와 전체 정보 속도 r^all-avg(F,L_p)의 비율의 하한을 r로 스케일링하여 정의된다.
• 분석은 최악의 경우, 랜덤화된 경우, 평균의 경우 설정에서의 최소 n번째 오차를 사용하며, 오차는 L_p 노름으로 측정된다.
• 평균의 경우 설정에서는 가우시안 측도와 공분산 연산자의 스펙트럼 성질에 기반하여 최소 오차를 계산한다.
• 랜덤화된 경우 설정에서는 힐버트 공간에서 랜덤화된 경우와 전체 정보 복잡도가 동치임을 이용한다.
• 최악의 경우 설정에서는 샘플링 수와 너비를 비교하여 거듭제곱 함수를 경계한다.
• 논문은 보간 추론과 근사 이론에서 알려진 결과를 적용하여 다양한 설정에서 ℓ에 대한 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 공간에서 랜덤화된 경우 설정에서 거듭제곱 함수 ℓ^ran-H(r,2)가 1이 되는 조건은 무엇인가? 이는 함수 값이 일반 선형 정보와 동일한 수렴 속도를 갖는다는 것을 의미한다.
• RQ2 최악의 경우 설정에서 힐버트 공간에서 ℓ^wor-H(r,p) = 1일 수 있는가? 이는 함수 값이 일반 선형 함수형만큼 강력하다는 것을 의미한다.
• RQ3 p ∈ [1,2)인 경우 힐버트 공간과 바나흐 공간에서 랜덤화된 경우 설정에서 거듭제곱 함수 ℓ^ran-H/B(r,p)의 행동은 어떠한가?
• RQ4 가우시안 측도를 사용한 평균의 경우 설정에서 p ≠ 2일 때 ℓ^avg-H/B(r,p) = 1이 성립하는가, 아니면 이는 p = 2에 국한되는가?
• RQ5 모든 r ∈ (0,a*]에서 ℓ^ran-H/B(r,p) = 0이 되는 최대값 a*(p)는 무엇인가? 이는 함수 값이 랜덤화된 경우 설정에서 얼마나 효과가 없는지를 나타낸다.

주요 결과

• p=2인 힐버트 공간에서 랜덤화된 경우 설정에서는 모든 r > 0에 대해 거듭제곱 함수 ℓ^ran-H(r,2) = 1이며, 이는 함수 값이 일반 선형 정보와 동일한 수렴 속도를 갖는다는 것을 의미한다.
• p=2이면서 평균이 0인 가우시안 측도를 갖는 바나흐 공간에서의 평균의 경우 설정에서는 모든 r > 0에 대해 거듭제곱 함수 ℓ^avg-H/B(r,2) = 1이며, 이는 함수 값이 일반 선형 정보만큼 강력하다는 것을 의미한다.
• 최악의 경우 설정에서 거듭제곱 함수 ℓ^wor-H(r,p)는 1 이하로 경계되며, ℓ^wor-H(r,p) = 1이 가능한지 여부는 여전히 열린 문제이다.
• p ∈ [1,2)인 힐버트 공간과 모든 p ∈ [1,∞]인 바나흐 공간에서의 랜덤화된 경우 설정에서의 거듭제곱 함수는 아직 탐색되지 않았으며, 이는 열린 문제로 제기된다.
• p ≠ 2인 경우의 거듭제곱 함수 ℓ^avg-H/B(r,p)는 알려져 있지 않으며, p = 2를 초월하여 ℓ^avg-H/B(r,p) = 1이 성립하는지 여부는 여전히 열린 질문이다.
• 논문은 여덟 가지 열린 문제를 규명하였으며, 이 중에는 모든 r ≤ a*에서 ℓ^ran-H/B(r,p) = 0이 되는 최대값 a*(p)가 포함되어 있으며, 이는 함수 값이 랜덤화된 경우 설정에서 얼마나 효과가 없는지를 나타낸다.