[논문 리뷰] On the preservation of Gibbsianness under symbol amalgamation

Jean-René Chazottes, Edgardo Ugalde|ArXiv.org|2009. 07. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 원래의 포텐셜이 헬더 연속일 경우, 전체 이방(전이)에서의 지브스 측도가 기호 통합에 대해 여전히 지브스성을 유지함을 입증한다. 기호 통합에 의한 후행 측도가 약간 감소한 정규성의 포텐셜을 가진 지브스 측도임을 증명하며, 2기호 포텐셜의 특수한 경우에선 결과로 생긴 은닉 마르코프 체인이 헬더 포텐셜을 가진 지브스 측도임을 보인다.

ABSTRACT

Starting from the full--shift on a finite alphabet $A$, mingling some symbols of $A$, we obtain a new full shift on a smaller alphabet $B$. This amalgamation defines a factor map from $(A^{\mathbb N},T_A)$ to $(B^{\mathbb N},T_B)$, where $T_A$ and $T_B$ are the respective shift maps. According to the thermodynamic formalism, to each regular function (`potential') $ψ:A^{\mathbb N} o{\mathbb R}$, we can associate a unique Gibbs measure $μ_ψ$. In this article, we prove that, for a large class of potentials, the pushforward measure $μ_ψ\circπ^{-1}$ is still Gibbsian for a potential $ϕ:B^{\mathbb N} o{\mathbb R}$ having a `bit less' regularity than $ψ$. In the special case where $ψ$ is a `2--symbol' potential, the Gibbs measure $μ_ψ$ is nothing but a Markov measure and the amalgamation $π$ defines a hidden Markov chain. In this particular case, our theorem can be recast by saying that a hidden Markov chain is a Gibbs measure (for a Hölder potential).

연구 동기 및 목표

• 기호 통합에 의한 지브스 측도의 후행 측도가 여전히 지브스성임을 보이는 조건을 규명하는 것.
• 통합 이후 더 작은 알파벳에서 유도된 포텐셜의 정규성 특성을 분석하는 것.
• 이전의 마르코프 근사 및 소픽 서브시프트에 대한 결과를 더 넓은 포텐셜 클래스로 확장하는 것.
• 2기호 포텐셜에서 유도된 은닉 마르코프 체인이 헬더 포텐셜을 가진 지브스 측도임을 보이는 것.
• 열역학 체계론과 기호 동역학의 기법을 통합하여 마르코프 근사의 균일 수렴을 증명하는 것.

제안 방법

• 일반적인 헬더 포텐셜 ψ를 전체 이방 A^N에서 근사하기 위해 r-단계 마르코프 근사 측도 (ψ_r)의 수열을 구성하는 것.
• 비르코프의 페론-프로베니우스 정리의 개선판을 사용하여 ψ_r와 관련된 전이 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하는 것.
• 텔레스코픽 곱과 주기적 근사를 활용하여 측도 μ_ψ_r와 μ_ψ를 비교하고, 약한-* 위상에서 수렴을 확보하는 것.
• ψ의 분산과 θ ∈ (0,1)을 포함한 지수 감소 항을 사용하여 실린더 확률 비율의 균일한 경계를 확립하는 것.
• 극한 절차를 통해 B^N 상의 유도된 포텐셜 φ를 도출하며, 오차가 통제된 상태에서 지브스 부등식을 만족함을 보이는 것.
• 에르고딕 분해 정리를 적용하여 μ_ψ_r의 약한-* 극한이 원래 지브스 측도 μ_ψ와 일치함을 결론짓는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기호 통합 하에서 지브스 측도의 후행 측도가 여전히 지브스성임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 기호 통합 이후 더 작은 알파벳 B에서 유도된 포텐셜 φ의 정규성은 원래 알파벳 A에서의 포텐셜 ψ와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 2기호 포텐셜에서 유도된 은닉 마르코프 체인이 헬더 포텐셜을 가진 지브스 측도로 표현될 수 있는가?
• RQ4 헬더 포텐셜에 대해 r-단계 마르코프 근사 측도 μ_ψ_r의 약한-* 극한이 원래 지브스 측도 μ_ψ와 같은가?
• RQ5 포텐셜의 변동성을 기준으로 마르코프 근사 측도가 지브스 측도로 수렴하는 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 A^N 상의 헬더 연속 포텐셜 ψ에 대해, 기호 통합 π에 의한 후행 측도 μ_ψ∘π⁻¹은 B^N 상에서 지브스 측도이다.
• ψ가 헬더 연속일 경우, B^N 상의 유도된 포텐셜 φ도 헬더 연속이며, ψ보다 약간 낮은 정규성을 가진다.
• ψ가 2기호 포텐셜일 경우, 유도된 은닉 마르코프 체인은 지브스 측도이며, 헬더 포텐셜과 관련된다.
• r-단계 마르코프 근사 측도 μ_ψ_r의 수열은 r→∞일 때 원래 지브스 측도 μ_ψ로 약한-* 수렴한다.
• 수렴 속도는 ∑_s (|w| + (s+1)(s+2)) var_s ψ + s θ^s로 통제되며, r→∞일 때 이 합은 0으로 수렴한다.
• 극한 측도 μ = lim_r→∞ μ_ψ_r는 에르고딕 분해에서 유일한 에르고딕 성분 때문에 μ_ψ와 일치한다.