[논문 리뷰] On The Prime Numbers In Intervals

Kyle D. Balliet|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정수 $ n \geq k \geq 2 $ 에 대해 $ 2 \leq k \leq 519 $ 일 때, $ (kn, (k+1)n) $ 간격에 항상 적어도 한 개 이상의 소수가 존재함을 증명함으로써 베르트랑의 공리(포스트ulate)를 일반화한다. 이는 초등 및 해석적 수론 기법을 사용하여 이루어지며, $ (n, kn) $ 내의 소수 개수가 $ n $ 에 따라 증가하고, $ n \geq k $ 일 때 최소 $ k-1 $ 개 이상의 소수가 존재함을 보여준다. 또한 이는 명시적인 하한값을 제공하며, 이 하한값은 $ n $ 에 따라 증가한다. 결과는 소수 정리와 일치하며, 짧은 간격 내 소수 분포에 대한 기존의 경계를 확장한다.

ABSTRACT

Bertrand's postulate establishes that for all positive integers $n>1$ there exists a prime number between $n$ and $2n$. We consider a generalization of this theorem as: for integers $n\geq k\geq 2$ is there a prime number between $kn$ and $(k+1)n$? We use elementary methods of binomial coefficients and the Chebyshev functions to establish the cases for $2\leq k\leq 8$. We then move to an analytic number theory approach to show that there is a prime number in the interval $(kn, (k+1)n)$ for at least $n\geq k$ and $2\leq k\leq 519$. We then consider Legendre's conjecture on the existence of a prime number between $n^2$ and $ (n+1)^2$ for all integers $n\geq 1$. To this end, we show that there is always a prime number between $n^2$ and $(n+1)^{2.000001}$ for all $n\geq 1$. Furthermore, we note that there exists a prime number in the interval $[n^2,(n+1)^{2+\varepsilon}]$ for any $\varepsilon>0$ and $n$ sufficiently large. We also consider the question of how many prime numbers there are between $n$ and $kn$ for positive integers $k$ and $n$ for each of our results and in the general case. Furthermore, we show that the number of prime numbers in the interval $(n,kn)$ is increasing and that there are at least $k-1$ prime numbers in $(n,kn)$ for $n\geq k\geq 2$. Finally, we compare our results to the prime number theorem and obtain explicit lower bounds for the number of prime numbers in each of our results.

연구 동기 및 목표

• 정수 $ n \geq k \geq 2 $ 에 대해 $ (kn, (k+1)n) $ 간격에 적어도 하나의 소수가 존재하는지 조사함으로써, 베르트랑의 공리를 일반화하는 것.
• 구간 $ (n, kn) $ 내의 소수의 최소 개수를 결정하여, 이 개수가 $ n $ 에 따라 증가하고 $ n \geq k \geq 2 $ 일 때 최소 $ k-1 $ 개 이상임을 보이는 것.
• 해석적 및 초등 기법을 사용하여, 체비셰프 함수와 이항계수 근사치를 포함하여, 이러한 간격 내 소수의 개수에 대한 명시적인 하한값을 제공하는 것.
• 유도된 하한값을 소수 정리와 비교하고, $ n \to \infty $ 일 때 $ (kn, (k+1)n) $ 내의 소수 개수가 무한히 증가함을 보이는 것.

제안 방법

• 이항계수 $ \binom{(k+1)n}{kn} $ 를 사용하고, 소수를 세 가지 범위로 분해함: 작음 ($ \leq \sqrt{(k+1)n} $), 중간 ($ \sqrt{(k+1)n} < p \leq kn $), 크림 ($ kn+1 \leq p \leq (k+1)n $).
• 소수의 로그 합을 추정하기 위해 체비셰프 함수 $ \vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \log p $ 과 $ \psi(x) = \sum_{p^k \leq x} \log p $ 를 적용함.
• 阶乘에 대한 스타링의 근사법과 $ l(n) < n! < u(n) $ 를 사용한 경계를 적용함. 여기서 $ u(n) $ 과 $ l(n) $ 은 $ \sqrt{2\pi} $, $ n^{n+1/2} $, 보정 항을 포함하는 점근적 경계이다.
• 소수 $ p $ 가 $ \binom{(k+1)n}{kn} $ 에서 나타나는 지수를 계산하기 위해 공식 $ \beta(p) = \sum_{t=1}^\infty \left( \left\lfloor \frac{(k+1)n}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{kn}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{p^t} \right\rfloor \right) $ 을 사용함.
• 이론적 분석을 위한 간격 경계를 개선하기 위해 함수 $ B_k(n,m) = \left\{ \frac{(k+1)n}{m} \atop \frac{kn}{m} \right\} / \left\{ \frac{(k+1)n}{2m} \atop \frac{kn}{2m} \right\} $ 를 적용함.
• 소수의 곱에 대한 하한값을 유도한 후, 이 값을 최대 소수 크기 $ (k+1)n $ 으로 나누어 소수 개수에 대한 하한값으로 변환함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 $ k \geq 2 $ 와 $ n \geq k $ 에 대해, 간격 $ (kn, (k+1)n) $ 에 적어도 하나의 소수가 존재하는가?
• RQ2 구간 $ (n, kn) $ 에서 보장되는 소수의 수는 얼마이며, 이 수는 $ n $ 에 따라 증가하는가?
• RQ3 구간 $ (kn, (k+1)n) $ 내 소수의 수에 대한 명시적인 하한값을 도출할 수 있으며, 이는 소수 정리와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 레그렌드의 추측—$ n^2 $ 과 $ (n+1)^2 $ 사이에 소수가 존재한다는 것—은 약화된 형태로 성립하는가? 그리고 큰 $ n $ 에 대해 $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ 가 항상 소수를 포함하기 위한 최소 지수 $ \varepsilon $ 는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 $ 2 \leq k \leq 519 $ 와 $ n \geq k $ 에 대해, $ (kn, (k+1)n) $ 간격에 적어도 하나의 소수가 존재함을 증명함. 이는 해석적 수론과 이항계수 경계를 통해 이루어짐.
• 구간 $ (n, kn) $ 내의 소수 개수는 $ \frac{n}{\log kn} \left( k - 1 - 3.965\left( \frac{k}{\log^2 kn} + \frac{1}{\log^2 n} \right) \right) $ 이상이며, 이 값은 $ n $ 에 따라 증가하고, 큰 $ n $ 에서는 $ k-1 $ 를 초과함.
• 특히 $ k = 8 $ 일 때, $ (8n, 9n) $ 간격 내 소수 개수는 $ \log_{9n} \left[ 32549.3 e^{-1.001102(9n/19)} n^{-13} \left( \frac{9^9}{8^8} \right)^{17n/105} (9n)^{-2.51012\sqrt{9n}/\log(9n)} \right] $ 이상으로 하한이 설정되며, 이 값은 $ n \to \infty $ 일 때 무한히 증가함을 보임.
• 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해, 충분히 큰 $ n \geq N $ 에 대해 간격 $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ 는 적어도 하나의 소수를 포함함.
• $ n \to \infty $ 일 때, $ (kn, (k+1)n) $ 내의 소수 개수는 무한히 증가함을 보여, 충분히 큰 $ n $ 에 대해 이 간격에 임의로 많은 소수가 존재함을 확인함.
• 유도된 $ (n, kn) $ 내 소수 개수의 하한값은 소수 정리의 점근적 예측과 일치하며, 이를 명시적으로 정량화함.