[논문 리뷰] On the probabilistic well-posedness of the nonlinear Schrödinger equations with non-algebraic nonlinearities

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 42인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 에너지 임계 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)에 대해 에너지 공간 이하의 초기 자료에 대한 위너 랜덤화를 사용하여, 다섯 차원 및 여섯 차원에서 비대수적 비선형성을 가진 경우의 거의 확실한 국소 및 전역 잘 정의성을 확립한다. 초점화된 경우 비가환 불변 조건 하에서 유한 시간 내 폭발 해를 확률적으로 구성하고, 결정론적 임계 정규화 이하의 범위를 초월하여 잘 정의성 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equations (NLS) with non-algebraic nonlinearities on the Euclidean space. In particular, we study the energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$, and energy-critical NLS without gauge invariance and prove that they are almost surely locally well-posed with respect to randomized initial data below the energy space. We also study the long time behavior of solutions to these equations: (i) we prove almost sure global well-posedness of the (standard) energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d = 5, 6$, in the defocusing case, and (ii) we present a probabilistic construction of finite time blowup solutions to the energy-critical NLS without gauge invariance below the energy space.

연구 동기 및 목표

• 에너지 공간 이하의 $\dot{H}^1$-임계 정규화 $s=1$ 이하에서 결정론적 의미에서의 불안정성 문제를 다루기 위해.
• 확률적 방법을 사용하여 에너지 공간 이하의 초기 자료에 대한 잘 정의성 결과를 확장하기 위해.
• 비가환 불변 조건이 없는 초점화된 에너지 임계 NLS에 대해 $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$ 에서 랜덤화된 초기 자료를 사용한 거의 확실한 국소 및 전역 잘 정의성을 확립하기 위해.
• 에너지 공간 이하에서 비가환 불변 조건이 없는 초점화된 NLS에 대해 확률적 방법을 사용하여 유한 시간 내 폭발 해를 구성하기 위해.
• 비콤팩트 유클리드 설정에서 위너 랜덤화를 활용한 확률적 잘 정의성의 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 주파수 공간 $\mathbb{R}^d_\xi = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}^d} (n + (-1/2,1/2]^d)$ 의 위너 분해를 사용하여 초기 자료를 랜덤화하고, 독립적인 복소 가우시안 계수를 사용한다.
• 초기 자료 $\phi \in H^s$, $s<1$ 에 대해 위너 랜덤화 $\phi^\omega = \sum_{n\in\mathbb{Z}^d} g_n(\omega) \psi(D - n)\phi$ 를 정의하며, $\psi$ 는 부드러운 분할 단위이다.
• 해의 사상 제어를 위해 적응된 함수 공간 $X^s_T$ 와 $Y^s_T$ 에서 확률적 스트리히르츠 및 비선형 추정을 적용한다.
• 확률적 프레임워크에서 수축 사상 원리를 적용하여 초점화된 비가환 불변 NLS에 대해 거의 확실한 국소 잘 정의성을 입증한다.
• 초점화된 경우에서 에너지 추정과 편미분 정리 방법을 사용하여 장기 존재성을 확립한다.
• 랜덤화된 초기 자료 하에서 해의 $L^2$-노름의 증가를 분석하여 폭발 대안과 사전 추정을 사용하여 유한 시간 내 폭발 해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 공간 이하의 $\dot{H}^1$-임계 정규화 $s=1$ 이하에서 비대수적 비선형성을 가진 에너지 임계 NLS에 대해 거의 확실한 국소 잘 정의성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 에너지 공간 이하에서 $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$ 에서 랜덤화된 초기 자료 $H^s$, $s<1$ 를 가진 초점화된 에너지 임계 NLS에 대해 거의 확실한 전역 잘 정의성이 가능한가?
• RQ3 에너지 공간 이하에서 비가환 불변 조건이 없는 에너지 임계 NLS에 대해 확률적 방법으로 유한 시간 내 폭발 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 위너 랜덤화는 연속 스펙트럼으로 인해 고전적 푸리에 급수 랜덤화가 실패하는 비콤팩트 유클리드 설정에서 잘 정의성 결과를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 폭발 영역에서 랜덤화된 초기 자료의 크기에 따라 최대 존재 시간의 정량적 의존성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 비대수적 비선형성을 가진 에너지 임계 NLS에 대해 $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$ 에서 초기 자료가 $H^s$, $s<1$ 에 속할 경우 위너 랜덤화를 통해 거의 확실한 국소 잘 정의성이 확립된다.
• 에너지 공간 이하에서 랜덤화된 초기 자료 $H^s$, $s<1$ 를 가진 초점화된 에너지 임계 NLS에 대해 에너지 추정과 장기 존재성 논증을 사용하여 거의 확실한 전역 잘 정의성이 입증된다.
• 에너지 공간 이하에서 비가환 불변 조건이 없는 에너지 임계 NLS에 대해 확률적 방법으로 유한 시간 내 폭발 해를 구성하였다. 최대 존재 시간은 $\alpha$ 가 크기 때문에 $T^*(\alpha) \leq C'(R) \alpha^{4/(-d+2k+2)}$ 를 만족한다.
• 폭발 시간 추정은 사전 추정과 폭발 대안에서 유도되었으며, 큰 랜덤화된 초기 자료가 양의 확률로 유한 시간 내 폭발을 유도함을 보여준다.
• 위너 랜덤화 프레임워크는 고전적 푸리에 급수 랜덤화가 연속 스펙트럼로 인해 실패하는 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$ 에서 잘 정의성 결과의 확장을 가능하게 한다.
• 결과는 랜덤화 방법의 선택에 대해 강건하며, $\Omega_{R,\varepsilon}$ 형태의 확률 집합에서 일관되게 유지되어 거의 확실한 수렴성과 안정성을 보장한다.