[논문 리뷰] On the Quantum Complexity of Closest Pair and Related Problems

Ambainis, Andris, Larka, Nikita|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 46인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고정된 차원에서 가장 가까운 쌍(CP) 문제의 양자 시간 복잡도를 해결하며, 역사에 의존하지 않는 새로운 양자 데이터 구조를 사용하여 상수 차원에서 eO(n^{2/3})의 양자 알고리즘을 제시한다. 이는 Ω(n^{2/3})의 양자 질의 하한을 통해 최적성과 함께 입증되며, 다항로그(n) 차원에서의 CP 문제에 대해 그로버의 제곱근 속도 향상이 거의 최적임을 보여주는 양자 강력한 시간 복잡도 가설(QSETH)을 도입한다.

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of $n$ points in a $d$-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in $O(n\log n)$ time in constant dimensions (i.e., when $d=O(1)$). This paper asks and answers the question of the problem's quantum time complexity. Specifically, we give an $ ilde{O}(n^{2/3})$ algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In $\mathrm{polylog}(n)$ dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover's algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover's algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an $n^{o(1)}$ factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

연구 동기 및 목표

• 상수 차원 및 다항로그 차원에서 가장 가까운 쌍(CP) 문제의 양자 시간 복잡도를 규명하는 것.
• 특히 고차원에서 고전 알고리즘이 실패하는 상황에서 기하 문제에 대한 양자 가속의 격차를 해소하는 것.
• 기하학적 검색을 위한 효율적인 양자 간섭을 가능하게 하는 역사에 의존하지 않는 양자 데이터 구조를 개발하는 것.
• 양자 강력한 시간 복잡도 가설(QSETH)을 도입하여 고차원에서 양자 조건부 하한 복잡도를 설정하는 것.

제안 방법

• 이산화된 초입방체, 해시 테이블, 스킵 리스트, 라디스 트리를 사용하여 빠른 근접 이웃 질의를 지원하는 역사에 의존하지 않는 기하학적 데이터 구조를 설계한다.
• 요소의 유일성 문제를 위한 양자 워크 알고리즘을 사용하여 상수 차원에서 CP의 O(n^{2/3}) 질의 복잡도를 달성한다.
• 최소 거리 쌍을 찾기 위해 거리 임계값에 대한 이진 탐색을 적용하며, 양자 최소값 찾기 및 근접 이웃 오라클을 활용한다.
• 그로버 알고리즘이 큰 절점을 가진 CNF-SAT 문제에 대해 최적임을 가정하는 SETH의 양자 버전인 QSETH를 도입한다.
• 양자 미세 복잡도 감소를 적용하여 다항로그(n) 차원에서 CP에 대한 난이도 높은 그로버 기반 접근이 o(1) 지수를 제외하고 최적임을 입증한다.
• 마르코프 부등식을 통해 실패 확률을 제어하기 위해 구축 시간이 유한한 병렬 양자 최소값 찾기를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 차원에서 가장 가까운 쌍 문제의 최적 양자 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 고차원(다항로그(n))에서 CP에 대해 그로버의 제곱근 속도 향초를 초월하여 비제곱 시간 복잡도를 달성할 수 있는 양자 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 다항로그(n) 차원에서 CP를 해결하는 데 있어 그로버 알고리즘이 최적인지, 이를 증명하기 위해 어떤 가정이 필요한가?
• RQ4 기하 연산을 지원하면서도 양자 간섭을 유지할 수 있도록 양자 데이터 구조를 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ5 양자 미세 복잡도 이론을 어떻게 체계화하여 고전적 조건부 하한 복잡도를 양자 환경으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 상수 차원에서 가장 가까운 쌍 문제에 대해 eO(n^{2/3})의 양자 알고리즘이 달성되었으며, 알려진 양자 질의 하한 Ω(n^{2/3})과 다항로그 인자까지 일치한다.
• 상수 차원에서 이색적 가장 가까운 쌍 문제 및 (1+ξ)-근사 가장 가까운 쌍 문제의 양자 질의 복잡도 역시 Ω(n^{2/3})이며, 최적성은 입증된다.
• 다항로그(n) 차원에서는 양자 강력한 시간 복잡도 가설(QSETH)을 가정할 경우, CP에 대한 난이도 높은 그로버 기반 접근이 no(1) 요소를 제외하고 최적임을 입증한다.
• 이 논문은 기하학적 검색에서 양자 간섭을 가능하게 하는 빠른 업데이트 및 검사 기능을 지원하는 역사에 의존하지 않는 새로운 양자 데이터 구조를 도입한다.
• 상수 차원에서 수직 벡터 문제의 시간 복잡도는 Θ(√n)이며, 검색 문제의 양자 질의 하한과 일치한다.
• 양자 최소값 찾기 절차에서의 실패 확률은 O(n^{-(1/2 - 1/(2d)))} 이하이며, d > 1일 경우 임의의 상수 이하로 감소하여 높은 신뢰성을 확보한다.