[논문 리뷰] Nonparametric estimation for interacting particle systems : McKean-Vlasov models

Laetitia Della Maestra, Marc Hoffmann|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 68인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 N개의 상호작용 입자의 궤적 관찰에 기반하여 McKean-Vlasov 비선형 Fokker-Planck 방정식 해와 드리프트에 대한 비모수 커널 추정기를 개발하며, 적응적 대역폭 선택과 minimax 최적성 결과를 제시한다.

ABSTRACT

We consider a system of $N$ interacting particles, governed by transport and diffusion, that converges in a mean-field limit to the solution of a McKean-Vlasov equation. From the observation of a trajectory of the system over a fixed time horizon, we investigate nonparametric estimation of the solution of the associated nonlinear Fokker-Planck equation, together with the drift term that controls the interactions, in a large population limit $N \ ightarrow \\infty$. We build data-driven kernel estimators and establish oracle inequalities, following Lepski's principle. Our results are based on a new Bernstein concentration inequality in McKean-Vlasov models for the empirical measure around its mean, possibly of independent interest. We obtain adaptive estimators over anisotropic H\\"older smoothness classes built upon the solution map of the Fokker-Planck equation, and prove their optimality in a minimax sense. In the specific case of the Vlasov model, we derive an estimator of the interaction potential and establish its consistency.

연구 동기 및 목표

• McKean-Vlasov 방정식으로 수렴하는 N개의 상호작용 입자 시스템에 대한 통계적 추론의 동기를 제공합니다.
• 변화하는 밀도 mu_t(x)와 드리프트 b(t,x,mu_t)에 대한 데이터 기반 커널 추정기를 개발한다.
• Lepski 원리를 이용하여 오라클 불평등 및 적응성 결과를 확립한다.
• 추정 및 집중에 대한 보조를 위해 McKean-Vlasov 모델에서 Bernstein 집중 불평등을 제공한다.
• Vlasov 모델에서 상호작용 추정 및 일관성 결과를 탐구한다.

제안 방법

• 실험적 도수 pi^N 및 밀도 mu_h^N의 평활화를 통해 mu_t(x)와 b(t,x,mu_t) mu_t(x)의 곱에 대한 커널 추정기를 구성한다.
• b(t,x,mu_t)에 대한 몫 추정기를 hat{b} = hat{pi} / (hat{mu} ∨ varpi)로 사용한다.
• mu 및 b의 대역폭을 적응적으로 선택하기 위해 Goldenshluger-Lepski 방법을 적용하고 오라클 불평등(Theorems 7 and 9)을 제시한다.
• 비선형 파르시볼 방정식의 해 맵으로 구성된 이방성 Hölder 공간 위에서 minimax 적응 추정 결과를 개발한다.
• 추정에 대한 편차 제어를 위해 McKean-Vlasov 모델의 경험측도에 대한 Bernstein 집중 불평등을 도출한다.
• Vlasov 케이스에서 상호작용 F의 식별 및 일관성 추정 결과를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호작용 입자계의 궤적 데이터로부터 변화하는 밀도 mu_t(x)를 비모수적으로 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ2 데이터로부터 입자 상호작용을 지배하는 드리프트 b(t,x,mu_t)를 비모수적으로 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 McKean-Vlasov 모델에서 mu_t와 b에 대해 이방성 Hölder 매끄러움 클래스 위에서 적응적(minimax) 추정이 달성될 수 있는가?
• RQ4 추정을 지원하기 위해 McKean-Vlasov 설정에서 경험측도에 대해 어떤 집중 및 편차 불평등을 확립할 수 있는가?
• RQ5 Vlasov 케이스에서 관찰된 데이터로부터 상호작용 함수 F를 일관되게 식별하고 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 본 논문은 mu_t(x)와 b(t,x,mu_t)에 대한 데이터 기반 커널 추정기를 구성하고, 대역폭에 걸친 최적의 바이어스-분산 트레이드오프를 바탕으로 추정 오차를 한정하는 오라클 불평등을 입증한다.
• 오라클 경계는 이방성 Hölder 클래스 전반에 걸쳐 추정기가 거의 최적의 바이어스-분산 트레이드오프를 달성한다는 것을 보여준다.
• McKean-Vlasov 모델에서 경험측도에 대한 평균 주위의 Bernstein 집중 불평등이 확립되어 비모수적 결과를 뚜렷하게 가능하게 한다.
• 이방성 시간-공간 Hölder 공간에서 mu_t와 b에 대한 적응적 minimax 결과를 개발하고 최적성 진술을 제시한다.
• Vlasov 설정에서 상호작용 F는 Fourier-type 추정기를 사용해 일관되게 추정될 수 있으며, 데이터로부터 상호작용을 복원할 수 있다.
• 해석은 측도 인자에서 드리프트의 새로운 미분가능성 프레임워크(k-linear differentiability)에 의존하여 경험적 프로세스 편차를 제어한다.