[논문 리뷰] On the real representations of the Poincare group

K. Pedro|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 20.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 40인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자역학적 상대론에서 국소화와 에너지 양성 문제를 해결하는 바탕이 되는, 파울리-이노센코 군의 실수 단순(unitary irreducible) 표현을 체계적으로 연구한다. 에너지가 양성이고 국소화 가능하며 인과성과 호환되는 유일한 표현은 실수로 표현된 질량이 있는 스핀-1/2 또는 질량이 없는 편극성-1/2 표현 뿐이며, 이는 마요라나 Fermion과 양자장론에서 실수장 표현의 기초를 제공한다.

ABSTRACT

The formulation of quantum mechanics with a complex Hilbert space is equivalent to a formulation with a real Hilbert space and particular density matrix and observables. We study the real representations of the Poincare group, motivated by the fact that the localization of complex unitary representations of the Poincare group is incompatible with causality, Poincare covariance and energy positivity. We review the map from the complex to the real irreducible representations---finite-dimensional or unitary---of a Lie group on a Hilbert space. Then we show that all the finite-dimensional real representations of the identity component of the Lorentz group are also representations of the parity, in contrast with many complex representations. We show that any localizable unitary representation of the Poincare group, compatible with Poincare covariance, verifies: 1) it is a direct sum of irreducible representations which are massive or massless with discrete helicity. 2) it respects causality; 3) if it is complex it contains necessarily both positive and negative energy subrepresentations 4) it is an irreducible representation of the Poincare group (including parity) if and only if it is: a)real and b)massive with spin 1/2 or massless with helicity 1/2. Finally, the energy positivity problem is discussed in a many-particles context.

연구 동기 및 목표

• 상대론적 양자역학에서 파울리-이노센코 군의 복소수 단순(unitary) 표현이 인과성, 파울리-이노센코 공변성, 에너지 양성과 상충되는 문제를 해결하기 위해.
• 실수 힐버트 공간 기반의 양자역학 해법이 기본 입자에 대해 복소수 해법의 일관된 대안이 될 수 있는지 조사하기 위해.
• 실수 파울리-이노센코 군의 단순(unitary) 표현 중에서 국소화 가능하고 상대론적 인과성 및 에너지 양성과 호환되는 표현을 특정하기 위해.
• 특히 마요라나 Fermion과 전자약 상호작용의 맥락에서, 실수 표현에서의 파리티 대칭과 전하-파리티 대칭의 역할을 명확히 하기 위해.
• 복소수 표현에서 실수 표현으로의 일대일 또는 이대일 전단사 사상(one-to-one 또는 two-to-one surjective map)을 수립하여, 실수 표현이 유도된 것이 아니라 근본적인 것으로 간주됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 특히 파울리-이노센코 군에 대해 실수화와 복소화 기법을 사용하여 리 군의 복소수 표현에서 실수 표현으로의 사상을 수립한다.
• 로렌츠 군의 항등원 성분에 대한 유한차원 실수 표현을 분석하고, 대부분의 복소 표현과 달리 파리티를 표현으로 포함함을 증명한다.
• 실수 힐버트 공간에서의 위치 연산자를 정의하기 위해 불가약성 체계(system of imprimitivity)를 적용하여, 실수 표현에서 실수선형 연산자임을 보여준다.
• 바르그만-바이너 형식을 사용하여 이산 스핀과 편극성을 가진 파울리-이노센코 군의 실수 단순(unitary irreducible) 프로젝티브 표현을 유도한다.
• 메이저라나-푸리에 및 메이저라나-한켈 변환을 적용하여 실수 표현에서 좌표 공간과 운동량 공간 간의 관계를 설정한다.
• 운동량 p가 기준 양에너지 운동량 q에 대해 p·q > 0 조건을 만족함으로써 파울리-이노센코 공변성, 인과성, 에너지 양성을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 파울리-이노센코 군 표현이 복소 표현에서 발견된 국소화, 인과성, 에너지 양성 간의 상충 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 실수 파울리-이노센코 군의 단순(unitary) 표현 중에서 국소화 가능하고 상대론적 인과성 및 파울리-이노센코 공변성과 호환되는 표현은 무엇인가?
• RQ3 왜 복소 표현은 단일 입자 이론에서 에너지 양성과 국소화와 본질적으로 불일치하는가?
• RQ4 실수 표현은 마요라나 Fermion, 힉스 보손, 전자기장의 물리적 기술과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 관측 가능량이 U(1) 대칭에 대해 불변이어야 한다는 조건은 국소화를 위해 필수적인가, 아니면 인위적으로 모순을 유도하는가?

주요 결과

• 인과성과 파울리-이노센코 공변성과 호환되는 국소화 가능한 모든 파울리-이노센코 군의 유니타리 표현은 이산 스핀 또는 편극성의 단순 표현들의 직합이다.
• 유니타리 표현이 복소수임은 정확히 양에너지 및 음에너지 부분 표현을 모두 포함할 경우에만 성립하며, 이는 다입자 체계 외에는 에너지 양성 조건을 위반한다.
• 파리티를 포함한 전체 파울리-이노센코 군의 유일한 국소화 가능하고 인과적이며 에너지가 양성인 단순 유니타리 표현은 실수 표현으로서 질량이 있는 스핀-1/2 또는 질량이 없는 편극성-1/2이다.
• 로렌츠 군의 항등원 성분에 대한 유한차원 실수 표현은 대부분의 복소 표현과 달리 항상 파리티 표현을 포함한다.
• 에너지 양성 조건 p·q > 0 는 로렌츠 변환에 대해 불변이며, 실수 힐버트 공간에서 에너지의 부호를 일관되게 정의하는 데 사용된다.
• 복소 표현에서의 국소화 문제의 근본 원인은 상대성 이론 자체가 아니라 관측 가능량이 U(1) 대칭에 대해 불변이어야 한다는 가정에 기인하며, 이는 실수 힐버트 공간 표현과 호환되지 않는다.