[논문 리뷰] On the reduction of the Siegel moduli space of abelian varieties of dimension 3 with Iwahori level structure

Philipp Hartwig|ArXiv.org|2009. 11. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양성 특성에서 Iwahori 수준 구조를 가진 아벨 3차 곡면의 모듈리 공간에서 주로 극대화된 아벨 3차 곡면의 모듈리 공간으로의 자연스러운 사영 사상의 섬유들에 대한 명시적인 기하학적 기술을 제공한다. 딜레옹 이론과 플래그 다양체를 이용하여 이러한 섬유의 구조를 규명하고, Iwahori 수준 공간에서의 초특이점 집합이 등차원적임을 입증하며, Kottwitz-Rapoport 섬유와 초특이점 집합의 교차의 정확한 차원 수를 밝혀낸다.

ABSTRACT

We study the moduli space of abelian threefolds with Iwahori level structure in positive characteristic. We explicitly determine the fibers of the canonical projection to the moduli space of principally polarized abelian varieties and draw conclusions about the relationship between the Ekedahl-Oort, the Kottwitz-Rapoport and the Newton stratification on these spaces.

연구 동기 및 목표

• g=3일 때, 𝒜_I가 Iwahori 수준 구조를 가진 아벨 3차 곡면을 매개변수화하고 𝒜_g가 주로 극대화된 아벨 3차 곡면을 매개변수화하는 바에, π: 𝒜_I → 𝒜_g의 자연스러운 사영 사상의 섬유를 명시적으로 기술하는 것.
• Iwahori 수준 모듈리 공간 상에서 코트위츠-라포포르트(KR), 에케다-오르트(EO), 뉴턴 분할의 상호관계를 분석하는 것.
• 어느 KR 섬유가 초특이점 집합 𝒮_I와 비자명하게 교차하는지 규명하고, 이러한 교차의 차원을 계산하는 것.
• g=3인 경우에 KR 섬유와 초특이점 집합의 교차가 등차원적임을 입증하는 것.
• 함수체의 경우에서의 통찰을 감소 방법을 통해 산술적 설정으로 확장하여, KR 섬유와 애매한 델리뉴-루스티그 다양체 간의 연관성을 설정하는 것.

제안 방법

• 고전적 딜레옹 이론을 활용하여 각 섬유 π⁻¹(A)를 𝔽̄_p 위의 플래그 다양체에 매립함으로써, 전형적인 단사적 유한 사상으로서 표현한다.
• 각 섬유의 상을, 기저 점 A의 에케다-오르트 섬유에 관련된 최종 시퀀스 ψ에 의해 결정되는, 전체 플래그 다양체 내의 닫힌 부분다양체 Flag^⊥,F,V_ψ ⊂ 로 특성화한다.
• GSp_6의 확장된 애파인 웨일 군 이론을 활용하여, Adm(μ) ∩ W_aτ 내의 원소들로 KR 섬유를 매개변수화한다.
• Proposition LABEL:DimProp를 사용한 차원 이론적 추론을 통해 섬유와 섬유의 폐쇄의 차원을 비교한다.
• 섬유의 상에 대한 명시적 행렬 모델을 활용하여 기약성과 차원을 분석하며, 특히 0차원 EO 섬유의 경우에 초점을 맞춘다.
• 델리뉴-루스티그 이론의 감소 기법을 활용하여, 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I의 기하학적 성질을 함수체의 경우의 애매한 델리뉴-루스티그 다양체와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 g=3인 Iwahori 수준 모듈리 공간에서 어떤 코트위츠-라포포르트 섬유가 초특이점 집합과 비자명하게 교차하는가?
• RQ2 g=3인 경우 각 KR 섬유와 초특이점 집합의 교차의 차원은 얼마인가?
• RQ3 각 KR 섬유와 초특이점 집합의 교차는 등차원적인가?
• RQ4 g=3인 Iwahori 수준 공간에서 에케다-오르트 분할과 뉴턴 분할은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 섬유 π⁻¹(A)의 기하학적 구조는 기저 바닥의 바르사otti-타이트 군과 그 딜레옹 모듈러의 구조를 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 0차원 에케다-오르트 섬유(ψ₀)의 경우, 섬유 π⁻¹(A)는 플래그 다양체 Flag^⊥,F,V_ψ₀와 전형적으로 위상동형이며, 이는 다음과 같은 기약 성분들로 분해된다: 전체 플래그 다양체 Y, 곡선 위의 ℙ¹-_bundle 위의 ℙ¹-_bundle Z, 그리고 ℙ²(𝔽_{p²}) 내의 곡선에 따라 인덱싱된 ℙ¹들의 가속도.
• 초특이점 집합 𝒮_I ⊂ 𝒜_I는 차원 3인 등차원이며, 𝒮_I의 각 기약 성분은 어떤 KR 섬유의 폐쇄의 성분이다.
• x ∈ {s₃₁₀τ, s₃₂₀τ, s₃₁₂₀τ, s₂₃₀₁τ}에 대응하는 KR 섬유에 대해, 교차 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I의 차원은 각각 2 또는 3이며, 이는 등차원적이다.
• 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I가 차원 n에서 등차원적임은, 함수체의 경우에 해당하는 애매한 델리뉴-루스티그 다양체가 차원 n에서 등차원적임과 동치이며, 깊은 유사성의 존재를 시사한다.
• 초특수 집합 내 2차원 에케다-오르트 섬유는 초특이점 집합에 포함되지 않으며, 이는 3차원 EO 섬유가 𝒮₃와의 교차에서 밀도가 높은 열린 부분집합을 형성함을 의미한다.
• 초특수 아벨 곡면 A ∈ 𝒜₃(𝔽̄_p) 위의 섬유는 Flag^⊥,F,V_ψ₀와 전형적으로 위상동형이며, 그 상은 차원 3인 닫힘, 기약, 등차원 부분다양체이다.