[논문 리뷰] On the Reidemeister spectrum and the $R_{\infty}$ property for some free nilpotent groups

E. G. Kukina, В. А. Романьков|ArXiv.org|2009. 03. 26.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랭크 $r$와 클래시 $c$를 가진 자유 노름군 $N_{rc}$의 저랭크, 저클래시 케이스($c=1$, $r\in\mathbb{N}$; $c=2$, $r=2,3$; $c=3$, $r=2$)에서 Reidemeister 스펙트럼을 결정하고, 모든 자유 노름군 $N_{2c}$($c\geq 4$)가 $R_\infty$ 성질을 만족함을 증명한다—즉, 모든 자기동형사상이 무한히 많은 비틀림 쌍대류를 가짐을 의미한다. 이 결과는 랭크 2이고 클래시 $t\geq 2$인 모든 자유 가환군 $S_{2t}$, 특히 자유 메타아벨 군 $M_2$로 확장되며, 충분히 큰 클래시를 가진 고랭크 자유 가환군으로도 확장된다.

ABSTRACT

We describe the Reidemeister spectrum $Spec_RG$ for $G = N_{rc},$ the free nilpotent group of rank $r$ and class $c,$ in the cases: $r \in {\mathbb N}$ and $c = 1;$ $r = 2, 3$ and $c = 2;$ $ r = 2$ and $c = 3,$ and prove that any group $N_{2c}$ for $c \geq 4$ satisfies to the $R_{\infty}$ property. As a consequence we obtain that every free solvable group $S_{2t}$ of rank 2 and class $t \geq 2$ (in particular the free metabelian group $M_2 = S_{22}$ of rank 2) satisfies to the $R_{\infty}$ property. Moreover, we prove that any free solvable group $S_{rt}$ of rank $r \geq 2$ and class $t$ big enough also satisfies to the $R_{\infty}$ property.

연구 동기 및 목표

• 저랭크, 저클래시 케이스에서 자유 노름군 $N_{rc}$의 Reidemeister 스펙트럼 $\mathrm{Spec}_R(G)$를 결정하기 위해.
• 모든 자유 노름군 $N_{2c}$($c\geq 4$)가 $R_\infty$ 성질을 만족함을 입증하여 랭크 2의 분류를 완성하기 위해.
• 자유 가환군 $S_{rt}$($r\geq 2$ 및 충분히 큰 클래시 $t$)로 $R_\infty$ 성질을 확장하여, 자유 메타아벨 군 $M_2$를 포함하기 위해.
• 노름군 몫의 구조와 자기동형사상에 의해 유도된 아벨화 위의 작용을 이용한 순수 대수적 증명을 통해 자유 가환군에 대한 $R_\infty$ 성질을 제시하기 위해.

제안 방법

• 아벨화 $A = G/G'$에 대해 $[A : L(A,\varphi)]$의 지수를 계산하여 Reidemeister 스펙트럼을 분석하며, 여기서 $L(A,\varphi) = \mathrm{Im}(\varphi - \mathrm{id})$이다.
• 자기동형사상에 의해 유도된 작용을 순차적 몫 $A_i = \zeta_{i+1}N / \zeta_i N$에 대해 상향식으로 분석하기 위해 $N_{rc}$의 상부 중심열 $\zeta_i N$을 사용한다.
• 만약 $\mathrm{Fix}_{\varphi_i}(N_i) = 1$ 이고 $\det(\bar{\varphi}_0 - E) = 0$ 이면 $R(\varphi) = \infty$임을 보여주는 기준을 적용한다.
• 기본 공식자기동형사상 $\bar{\varphi}_0$의 행렬을 $\zeta_1 N$에서 계산하며, 이는 하위 중심열의 세 번째 항이다.
• 행렬 계산을 직접 수행하여 $\zeta_1 N$에서 $\bar{\varphi}_0$를 나타내는 $3 \times 3$ 행렬 $B$에 대해 $\det(B - E) = 0$임을 보이고, 이는 무한한 Reidemeister 수를 의미한다.
• 자기동형사상의 몫 사상 $S_{rt} \to N_{rt}/\gamma_{k+1}S_{rt}$를 통해 자유 가환군에 적용하며, 노름군 몫에서 $R(\varphi) = \infty$이면 자유 가환군에서도 성립함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 노름군 $N_{rc}$($r$ 랭크, $c$ 클래시)의 Reidemeister 스펙트럼 $\mathrm{Spec}_R(N_{rc})$는 $c=1$, $r=2,3$ 및 $c=2$, $r=2$ 및 $c=3$일 때 어떻게 되는가?
• RQ2 모든 자유 노름군 $N_{2c}$($c \geq 4$)는 $R_\infty$ 성질을 만족하는가?
• RQ3 모든 자유 가환군 $S_{2t}$($r=2$, $t \geq 2$)는 $R_\infty$ 성질을 만족하는가?
• RQ4 자유 가환군 $S_{rt}$가 $R_\infty$ 성질을 만족하는 $r$ 및 $t$의 값은 무엇인가?

주요 결과

• $N_{r1}$($r \geq 2$일 때 랭크 $r$의 자유 아벨군)의 Reidemeister 스펙트럼은 $\mathrm{Spec}_R(N_{r1}) = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$이며, $r=1$일 땐 $\{2\} \cup \{\infty\}$이다.
• $N_{22}$의 스펙트럼은 $\mathrm{Spec}_R(N_{22}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$이다.
• $N_{32}$의 스펙트럼은 $\mathrm{Spec}_R(N_{32}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$이다.
• $N_{23}$의 스펙트럼은 $\mathrm{Spec}_R(N_{23}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$이다.
• $c \geq 4$인 모든 자유 노름군 $N_{2c}$는 $\zeta_1 N$에서 유도된 자기동형사상에 대해 $\det(B - E) = 0$임을 증명함으로써 $R_\infty$ 성질을 만족한다.
• 랭크 2, 클래시 $t \geq 2$인 모든 자유 가환군 $S_{2t}$는 $R_\infty$ 성질을 만족하며, 이는 자유 메타아벨 군 $M_2 = S_{22}$를 포함한다. 이는 $S_{2t} \to N_{24}$의 상사상이 존재하고, 몫에서 $R_\infty$ 성질이 성립하기 때문이다.