[논문 리뷰] The geometry of twisted conjugacy classes in wreath products

Jennifer Taback, Peter Wong|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $G$가 자명한 외부자기동형군을 가진 유한군일 때, $G\wr\mathbb{Z}$가 임의의 자기동형사상에 대해 무한히 많은 왜곡된 쌍대류를 가진다는 기하적 증명을 제공한다. 이는 대칭군 $S_n$ ($n \geq 5$)와 많은 유한 단순군을 포함한다. 증명은 카일리 그래프의 기하학적 성질과 Eskin, Fisher, Whyte의 람플라이터 군에 대한 최신 준등거리 분류를 활용하며, 이는 이전의 대수적 결과를 더 넓은 범주로 확장한다.

ABSTRACT

We give a geometric proof based on recent work of Eskin, Fisher and Whyte that the lamplighter group $L_n$ has infinitely many twisted conjugacy classes for any automorphism $\vp$ only when $n$ is divisible by 2 or 3, originally proved by Gonçalves and Wong. We determine when the wreath product $G \wr \Z$ has this same property for several classes of finite groups $G$, including symmetric groups and some nilpotent groups.

연구 동기 및 목표

• 준등거리 이론을 사용하여 와이어드 곱 $G\wr\mathbb{Z}$에서의 왜곡된 쌍대류에 대한 기하적 특성화를 수립한다.
• 기존 결과인 $\mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$가 $R_\infty$를 가진다는 것과 동치이기 위한 조건 $2\mid n$ 또는 $3\mid n$을 더 넓은 범주로 확장한다.
• 기하학적 및 대수적 기법을 사용하여, 자기동형사상 $\varphi$에 대해 $G\wr\mathbb{Z}$가 무한히 많은 $\varphi$-왜곡된 쌍대류를 가지는지 판단한다.
• 모든 유한군 $G$가 $S_n\in\mathfrak{L}$이 되는 $n\geq 5$라는 사실을 활용하여, $H\wr\mathbb{Z}$에 속하는 $R_\infty$ 성질을 가진 군으로 포함시킬 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• Eskin, Fisher, Whyte의 준등거리 분류를 활용하여 $L_n = \mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$의 카일리 그래프 기하학적 구조를 활용한다.
• 준등거리 분류를 적용하여 자기동형사상이 와이어드 곱의 구조와 기저 군 $\bigoplus G_i$에 유도하는 작용을 분석한다.
• 자기동형사상 하에서 $\bigoplus G_i$의 블록 분해를 활용하며, $G$가 자명한 외부자기동형군을 가진다면 자기동형사상이 특정 직합 성분을 유지함을 보여준다.
• 각 블록에서 자기동형사상이 비자명한 고정점을 가짐을 이용하여, 왜곡된 쌍대류의 수가 무한함을 증명한다.
• 특수부분군에 관한 군론적 결과를 활용하여, 특히 $\bigoplus A_n$ 이 $\bigoplus S_n$ 에서 특수부분군임을 보여 $A_n$ 에서의 결과를 $S_n$ 으로 확장한다.
• 기하학적 통찰과 Reidemeister 수 및 자기동형사상 하에서 쌍대류의 불변성과 같은 대수적 도구를 조합하여 $S_n\wr\mathbb{Z}$ 에서의 $R_\infty$ 를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한군 $G$ 에 대해 와이어드 곱 $G\wr\mathbb{Z}$ 는 모든 자기동형사상 $\varphi$ 에 대해 무한히 많은 $\varphi$-왜곡된 쌍대류를 가지는가, 즉 성질 $R_\infty$ 를 가진다.
• RQ2 기존의 대수적 결과인 $\mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$ 가 $R_\infty$ 를 가진다는 것과 동치이기 위한 조건 $2\mid n$ 또는 $3\mid n$ 이 준등거리 이론을 사용하여 기하학적으로 재증명할 수 있는가?
• RQ3 $S_n\wr\mathbb{Z}$ 는 $n \geq 5$ 에 대해 성질 $R_\infty$ 를 가지는가, 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 임의의 유한군 $G$ 는 $R_\infty$ 성질을 가진 $H\wr\mathbb{Z}$ 의 형태로 포함시킬 수 있는가?
• RQ5 $G$ 의 외부자기동형군은 $G\wr\mathbb{Z}$ 에서의 왜곡된 쌍대류의 유한성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 자기동형군이 자명한 유한 단순군인 경우, $G\wr\mathbb{Z}$ 는 성질 $R_\infty$ 를 가진다. 이는 $M_{11}, M_{23}, M_{24}, C_1, C_2, C_3, J_1, J_4, B, M$, 및 $Fi_{23}$ 등과 같은 군을 포함한다.
• $n \geq 5$ 이고 $n \neq 6$ 일 때, 대칭군 $A_n$ 은 $A_n\wr\mathbb{Z} \in \mathfrak{L}$ 를 만족하며, 이는 외부자기동형사상 하에서 고정점이 존재하기 때문이다.
• $n \geq 5$ 에 대해 대칭군 $S_n$ 은 $\mathfrak{L}$ 에 속하므로 $S_n\wr\mathbb{Z}$ 는 성질 $R_\infty$ 를 가진다. 왜냐하면 $\bigoplus A_n$ 이 $\bigoplus S_n$ 에서 특수부분군이기 때문이며, 이는 $R_\infty$ 성질을 그대로 이어받기 때문이다.
• $\mathbb{Z}_2\wr\mathbb{Z}$ 와 $\mathbb{Z}_3\wr\mathbb{Z}$ 에 대해서도 결과가 확장되며, 이는 $L_2$ 와 $L_3$ 이 $R_\infty$ 를 가짐을 확인한다. 이는 이전의 대수적 증명과 일치한다.
• 모든 유한군 $G$ 는 충분히 큰 $n$ 에 대해 $S_n$ 이 모든 유한군을 포함하므로, $S_n\wr\mathbb{Z}$ 가 $R_\infty$ 를 가지므로, $H\wr\mathbb{Z}$ 에 속하는 $R_\infty$ 성질을 가진 군으로 포함시킬 수 있다.
• 성질 $R_\infty$ 는 준등거리에 대해 보존되지 않는다. 왜냐하면 $\mathbb{Z}_4\wr\mathbb{Z}$ 는 $(\mathbb{Z}_2)^2\wr\mathbb{Z}$ 와 준등거리이지만, 오직 첫 번째 군만이 $R_\infty$ 를 가진다.