[논문 리뷰] On the relevance of avoided crossings away from quantum critical point to the complexity of quantum adiabatic algorithm

Sergey Knysh, Vadim Smelyanskiy|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 무작위 NP-완전 문제에 대한 양자 어드비틱 알고리즘에서 영역 수평장 근처의 피하기 교차가 지수적으로 작은 갭을 유도한다는 주장에 도전한다. 영역 수평장에서의 지수적 기저 상태 비탄성도를 고려한 수정된 섭동 이론을 사용하여, 이러한 피하기 교차는 큰 수평장($O(1)$)를 필요로 하며, 이는 섭동 이론이 붕괴하는 영역임을 보여주며, 따라서 제안된 실패 메커니즘이 불가능하다고 함. 분석 결과, 최소 갭이 $N$에 대해 지수적으로 스케일링되지 않지만, 최종 복잡도는 여전히 미결정이다.

ABSTRACT

Two recent preprints [B. Altshuler, H. Krovi, and J. Roland, "Quantum adiabatic optimization fails for random instances of NP-complete problems", arXiv:0908.2782 and "Anderson localization casts clouds over adiabatic quantum optimization", arXiv:0912.0746] argue that random 4th order perturbative corrections to the energies of local minima of random instances of NP-complete problem lead to avoided crossings that cause the failure of quantum adiabatic algorithm (due to exponentially small gap) close to the end, for very small transverse field that scales as an inverse power of instance size N. The theoretical portion of this work does not to take into account the exponential degeneracy of the ground and excited states at zero field. A corrected analysis shows that unlike those in the middle of the spectrum, avoided crossings at the edge would require high [O(1)] transverse fields, at which point the perturbation theory may become divergent due to quantum phase transition. This effect manifests itself only in large instances [exp(0.02 N) >> 1], which might be the reason it had not been observed in the authors' numerical work. While we dispute the proposed mechanism of failure of quantum adiabatic algorithm, we cannot draw any conclusions on its ultimate complexity.

연구 동기 및 목표

• 무작위 NP-완전 문제에 대한 양자 어드비틱 최적화에서 영역 수평장 근처의 피하기 교차가 지수적으로 작은 갭을 유도한다는 주장에 도전하기 위해.
• 영역 수평장에서 기저 상태와 옹진 상태의 지수적 비탄성도를 고려한 이전 연구의 섭동 분석을 수정하기 위해.
• 스펙트럼 가장자리에서의 피하기 교차가 현실적인 조건 하에서 지수적으로 작은 갭을 유도할 수 있는지 평가하기 위해.
• 무작위 조합 최적화 문제에서 에너지 분리와 갭 스케일링을 추정하는 데 있어 섭동 이론의 역할을 명확히 하기 위해.
• 양자 어드비틱 모델에서 알고리즘 실패를 위한 제안된 메커니즘의 타당성을 평가하기 위해.

제안 방법

• 영역 수평장에서의 기저 상태 비탄성도를 보정한, 비퇴화 및 퇴화 섭동 이론을 사용하여 국소 상태 간의 에너지 분리 재분석.
• 일부 클라우즈 구성에서 퇴화 섭동 이론으로부터 $O(\lambda^3)$ 보정 항이 발생함을 밝힘. 이는 기존 섭동 이론에서의 $O(\lambda^4)$ 보정 항 외에도 존재함.
• 스펙트럼 가장자리에서의 피하기 교차는 $O(1)$ 수준의 수평장을 필요로 하며, 이는 섭동 이론이 유효하지 않은 영역임을 보여줌.
• 수치 결과를 사용하여 보정 항의 스케일링을 테스트하여, 이들이 이전 가정과는 달리 $N$에 대해 다항식이 아닌 로그적으로 증가할 수 있음을 보임.
• 초그래프 구조와 트리밍의 영향을 고려하여, 대부분의 모델에서 지수적 비탄성도가 유지됨을 보여줌.
• 유한한 $\lambda < \lambda_c$ 에서 작은 갭의 진정한 확률을 평가하기 위해 비섭동 방법이 필요할 수 있음을 주장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 NP-완전 문제에 대한 양자 어드비틱 알고리즘에서 스펙트럼 가장자리에서의 피하기 교차가 지수적으로 작은 갭을 유도할 수 있는가?
• RQ2 이전 연구에서 영역 수평장에서의 지수적 비탄성도를 올바르게 고려한 섭동 분석이 이루어졌는가?
• RQ3 스펙트럼 가장자리에서 피하기 교차가 발생하기 위해 필요한 수평장 강도는 얼마이며, 이는 섭동 이론의 붕괴를 유도하는가?
• RQ4 퇴화된 기저 상태가 존재할 경우 시스템 크기 $N$에 따라 섭동 보정 항은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 큰 $\lambda$ 에서 섭동 이론의 붕괴를 고려할 때, $\lambda \to 0$ 근처에서 작은 갭을 통한 실패 메커니즘이 물리적으로 타당한가?

주요 결과

• Ref. Alt09의 섭동 분석은 영역 수평장에서 기저 상태와 옹진 상태의 지수적 비탄성도를 고려하지 않아, 피하기 교차에 대한 잘못된 결론을 이끌어냈다.
• 스펙트럼 가장자리에서의 피하기 교차는 $O(1)$ 수준의 수평장을 필요로 하며, 이는 양자 상전이로 인해 섭동 이론이 신뢰할 수 없게 되는 영역이다.
• 퇴화 섭동 이론으로부터 유도된 에너지 분리는 $O(\lambda^3)$ 수준이 될 수 있으며, 이는 단지 $O(\lambda^4)$ 보정 항 외에도 존재함. 이러한 보정 항은 초그래프 트리밍으로 쉽게 제거되지 않는다.
• 수치 결과는 보정 항이 $N$에 대해 느리게 증가할 수 있으며, 이는 이전 연구에서 가정한 다항식 스케일링과는 정반대임을 시사함.
• 수정된 분석에 따르면, 양자 어드비틱 알고리즘의 최소 갭은 $N$에 대해 지수적으로 스케일링되지 않지만, 최종 복잡도는 여전히 결정되지 않음.
• 유한한 $\lambda < \lambda_c$ 에서 지수적으로 작은 갭의 진정한 가능성 평가를 위해 비섭동 방법이 필요할 수 있음.