[논문 리뷰] On the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체에서 비선형 확산 방정식에 대해 리치 곡률이 비음이거나 CD(0,m)-조건을 만족할 경우 레니 엔트로피의 강도가 볼록임을 증명하며, 사바레와 토스카니의 유클리드 영역 결과를 확장한다. 엄격성 정리들을 증명하여 아인슈타인 또는 준아인슈타인 다각형과 헤시안 솔리톤 리치 흐름이 극값 모델임을 규명하고, 엔트로피 강도, 피셔 정보, W-엔트로피 사이의 관계를 나타내는 NIW 공식을 유도하며, 이러한 다각형에서 새로운 등주 및 가가르도-니레버그-소볼레프 부등식을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove the concavity of the Renyi entropy power for nonlinear diffusion equation (NLDE) associated with the Laplacian and the Witten Laplacian on compact Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0,m)$-condition and on compact manifolds equipped with time dependent metrics and potentials. Our results can be regarded as natural extensions of a result due to Savaré and Toscani \cite{ST} on the concavity of the Renyi entropy for NLDE on Euclidean spaces. Moreover, we prove that the rigidity models for the Renyi entropy power are the Einstein or quasi-Einstein manifolds and a special $(K,m)$-Ricci flow with Hessian solitons. Inspired by Lu-Ni-Vazquez-Villani \cite{LNVV}, we prove the Aronson-Benilan estimates for NLDE on compact Riemannian manifolds with $CD(0,m)$-condition. We also prove the NIW formula which indicates an intrinsic relationship between the second order derivative of the Renyi entropy power $N_p$, the $p$-th Fisher information $I_p$ and the time derivative of the $W$-entropy associated with NLDE. Finally, we prove the entropy isoperimetric inequality for the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on complete Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0, m)$-condition and maximal volume growth condition.

연구 동기 및 목표

• 비음 리치 곡률 또는 CD(0,m)-조건을 만족하는 컴팩트 리만 다각형에서 유클리드 공간의 레니 엔트로피 강도 볼록성을 확장한다.
• 엔트로피 강도 부등식에서 등호를 만족하는 엄격성 모델인 아인슈타인 또는 준아인슈타인 다각형과 헤시안 솔리톤 (K,m)-리치 흐름을 규명한다.
• NIW 공식을 유도하여 비선형 확산 방정식에서 레니 엔트로피 강도의 두 번째 도함수, p-번째 피셔 정보, W-엔트로피의 시간 도함수 사이의 내재적 관계를 드러낸다.
• 비음 리치 곡률과 최대 체적 성장 조건 하에서 완전한 리만 다각형에서 엔트로피 등주 및 가가르도-니레버그-소볼레프 부등식을 수립한다.
• 유럽 공간의 결과를 확장하여 컴팩트 다각형에서 CD(0,m)-조건을 만족하는 위튼 라플라스 연산자 설정으로 아론슨-벤일란 추정 및 W-엔트로피 공식을 일반화한다.

제안 방법

• 엔트로피 소산 공식을 통해 곡률-차원 조건(CD(0,m)) 및 리치 곡률 경계를 이용해 레니 엔트로피 강도의 볼록성을 증명한다.
• Γ₂-계산법과 바크리-에메르 이론을 적용하여 레니 엔트로피 강도의 이阶 도함수 추정을 유도한다.
• 레니 엔트로피 강도의 두 번째 도함수를 p-번째 피셔 정보와 W-엔트로피의 시간 도함수와 연결함으로써 NIW 공식을 수립한다.
• 위튼 라플라스 연산자에 대한 W-엔트로피 공식을 활용해 비선형 확산 방정식에 대한 아론슨-벤일란 유형 추정을 도출한다.
• 최대 체적 성장과 곡률 조건을 활용해 엔트로피 등주 부등식과 가가르도-니레버그-소볼레프 부등식을 증명한다.
• 레니 엔트로피, 피셔 정보, W-엔트로피 간의 연결을 활용해 다각형에서 정밀한 함수 부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 확산 방정식의 해를 따라 레니 엔트로피 강도가 볼록이 되기 위한 리만 다각형의 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ2 엔트로피 강도 볼록성 부등식에서 등호를 만족하는 엄격성 모델—기하적 구조—는 무엇인가?
• RQ3 레니 엔트로피 강도의 두 번째 도함수는 p-번째 피셔 정보와 W-엔트로피의 시간 도함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비음 리치 곡률과 최대 체적 성장 조건을 만족하는 완전한 리만 다각형으로 엔트로피 등주 부등식과 가가르도-니레버그-소볼레프 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ5 CD(0,m)-조건을 만족하는 다각형에서 비선형 확산 방정식에 대한 아론슨-벤일란 추정의 유사체는 무엇인가?

주요 결과

• 비음 리치 곡률 또는 CD(0,m)-조건을 만족하는 컴팩트 리만 다각형에서 비선형 확산 방정식에 대해 레니 엔트로피 강도는 시간에 대해 볼록하다.
• 엔트로피 강도 볼록성의 엄격성 모델은 아인슈타인 다각형, 준아인슈타인 다각형, 또는 헤시안 솔리톤이 포함된 (K,m)-리치 흐름이다.
• NIW 공식은 레니 엔트로피 강도의 두 번째 도함수, p-번째 피셔 정보, W-엔트로피의 시간 도함수 사이의 정밀한 관계를 확립한다.
• 엔트로피 등주 부등식이 성립한다: $ N_p(f) I_p(f) \to \text{const} $, 상수는 차원과 소볼레프 상수에 따라 달라진다.
• 비음 리치 곡률과 최대 체적 성장 조건 하에서 모든 $ f \to C_0^\frown(M) $ 에 대해 가가르도-니레버그-소볼레프 부등식이 증명된다.
• CD(0,m)-조건을 만족하는 컴팩트 다각형에서 위튼 라플라스 연산자에 대해 아론슨-벤일란 추정이 확립되어 유클리드 공간의 결과를 일반화한다.