[논문 리뷰] On the Representation Theorem of G-Expectations and Paths of G--Brownian Motion

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|2009. 04. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 확률적 제어 기법을 피하고 기본 확률 이론과 Hahn-Banach 정리를 사용하여 G-기대의 표현 정리를 간단하고 기초적인 증명을 제공한다. 연속 경로 공간 위의 유계 연속 함수가 리프시츠 실린더 함수의 G-기대 완비화에 속한다는 것을 입증함으로써, G-브라운 운동과 확률적 미적분학의 기초 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We give a very simple and elementary proof of the existence of a weakly compact family of probability measures $\{P_θ:θ\in Θ\}$ to represent an important sublinear expectation--G-expectation $\mathbb{E}[\cdot]$. We also give a concrete approximation of a bounded continuous function $X(ω)$ by an increasing sequence of cylinder functions $L_{ip}(Ω)$ in order to prove that $C_{b}(Ω)$ belongs to the $\mathbb{E}[|\cdot|]$-completion of the $L_{ip}(Ω)$.

연구 동기 및 목표

• 고도의 확률적 제어 이론에 의존하지 않고 G-기대의 표현 정리를 직접적이고 기초적인 증명을 제공하는 것.
• 고도의 확률적 도구 없이도 G-기대를 나타내는 약한 컴팩트 성질을 갖는 확률 측도의 가족을 구성하는 것.
• 연속 경로 공간 위의 모든 유계 연속 함수가 리프시츠 실린더 함수 공간의 G-기대 완비화에 속한다는 것을 증명하는 것.
• 모델 불확실성 하에서의 확률적 미적분학 개발에 필수적인 기본 완비성 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 하나의 선형 기대에 대한 초월을 통해 하향 기대를 표현하기 위해 Hahn-Banach 정리를 사용한다.
• 기본적인 근사 기법을 통해 G-기대를 나타내는 약한 컴팩트 성질을 갖는 확률 측도의 가족 {P_θ : θ ∈ Θ}을 구성한다.
• 경로 공간 Ω 위의 임의의 유계 연속 함수 X(ω)를 근사하기 위한 구체적인 증가하는 리프시츠 실린더 함수 L_ip(Ω)의 수열을 도입한다.
• 시간 격자에서의 조각별 선형 보간을 정의하여 근사 함수 ω^(n)(ω)를 구성함으로써, 컴팩트 부분집합에서의 균일 수렴을 보장한다.
• 근사 오차를 제어하기 위해 G-기대 노름을 적용하고, X의 컴팩트성과 연속성을 활용한다.
• 근사 오차의 경계와 측도 이론적 추정을 결합하여 G-기대 L^1 노름에서의 수렴을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 확률적 제어 이론을 동원하지 않고도 G-기대의 표현을 증명할 수 있는가?
• RQ2 기본적인 확률 도구만을 사용하여 G-기대를 나타내는 약한 컴팩트 성질을 갖는 확률 측도의 가족을 직접 구성할 수 있는가?
• RQ3 연속 경로 공간 위의 모든 유계 연속 함수가 리프시츠 실린더 함수에 의해 G-기대 L^1 노름에서 근사될 수 있는가?
• RQ4 유계 연속 함수의 공간과 리프시츠 실린더 함수 공간의 G-기대 완비화 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 G-브라운 운동 프레임워크는 최소한의 분석적 가정으로 어떻게 기초를 다질 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 복잡한 기법 없이 Hahn-Banach 정리와 기본 확률 이론만을 사용하여 G-기대의 표현 정리에 대한 새로운 기초적 증명을 제공한다.
• G-기대를 이 측도들에 대한 기대의 초월로 표현하는 약한 컴팩트 성질을 갖는 확률 측도의 가족 {P_θ : θ ∈ Θ}이 명시적으로 구성된다.
• 연속 경로 공간 위의 모든 유계 연속 함수 X(ω)가 리프시츠 실린더 함수 공간 L_ip(Ω)의 G-기대 L^1-완비화에 속한다는 것이 입증된다.
• 시간 이산화된 조각별 선형 보간을 통해 X(ω)의 증가하는 리프시츠 실린더 함수 수열에 대한 명시적 근사가 구성된다.
• 이 결과는 L_G^1(Ω) = L_c^1 및 모든 p > 0에 대해 L_G^p(Ω) = L_c^p임을 의미하며, G-기대 하에서의 공간의 완비성을 입증한다.
• 이 프레임워크는 최소한의 가정에 기반하여 G-브라운 운동과 관련된 확률적 미적분학에 직접적인 기초를 제공한다.