[논문 리뷰] On the stability of locally conformal Kaehler structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 10.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 콪리형 켈러(l.c.k.) 구조가 복소 구조와 평탄한 선다발에 대한 소규모 변형 하에서 안정성을 보장하는 코homological 기준을 수립한다. $L$-값을 갖는 도르베오-코homology와 드 라무 코homology를 사용하여, 쌍 $(X,L)$ 가 차수 $(0,2)$ 에서 $\partial\overline{\partial}$-레미를 만족하고 $H^3(X,L)=0$ 라면, l.c.k 구조는 이러한 변형 하에서도 유지됨을 증명한다. 이 결과는 호프 다발과 이노에 표면에 적용되어, 전역 퍼텐셜이 존재하지 않을 경우에도 안정성이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this article we develop a new approach to the problem of the stability of locally conformally Kähler structures (l.c.k structures) under small deformations of complex structures and deformations of flat line bundles. We show that under the certain cohomological condition the stability of l.c.k structures does hold. We apply our approach to Hopf manifolds and its generalizations to obtain the stability of l.c.k structures which do not have potential in general. We give an explicit description of the cohomological obstructions of the stability of l.c.k structures on Inoue surfaces with $b_2=0$.

연구 동기 및 목표

• 복소 구조의 소규모 변형 하에서 국소적으로 콩리형 켈러(l.c.k.) 구조의 안정성을 보장하는 코homological 조건을 수립하기.
• l.c.k 구조와 관련된 평탄한 선다발의 변형으로까지 안정성 분석을 확장하기.
• 특히 $b_2 = 0$ 인 비-케일러 표면, 특히 이노에 표면에서 잠재적 기반 방법이 실패하는 상황에서의 안정성에 대한 명시적 차단 조건을 제공하기.
• 일반화된 켈러 기하학의 변형 이론 기법을 $L$-값을 갖는 미분 형식을 사용하여 l.c.k 설정으로 일반화하기.

제안 방법

• l.c.k 구조 $\omega$ 와 관련된 평탄한 선다발 $L$ 에 대해 $L$-값을 갖는 드 라무 및 도르베오 코homology 군을 도입하기.
• 안정성의 핵심 분석 조건으로서 차수 $(0,2)$ 에서의 $L$-값을 갖는 $\partial\overline{\partial}$-레미를 정의하기.
• d_L-연산자 하에서 l.c.k 형식 $\omega$ 의 $L$-값을 갖는 닫힌 형식으로의 업그레이드 $\tilde{\omega}$ 를 구성하기.
• Lee 형식 $\eta$ 를 사용한 $d_\eta$-복합체 위에서 호지 이론을 적용하여 조화 표현과 코homology 클래스 분석하기.
• $H^3(X,L)$ 를 복소 구조와 평탄한 선다발을 동시에 변형하는 데의 장애로 계산하기.
• 특정 예시에 이 те올리를 적용하기: 호프 다발, 일반화된 호프 다발, 이노에 표면; $L$-값을 갖는 보트-체른 코homology 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 구조의 소규모 변형 하에서 국소적으로 콩리형 켈러(l.c.k.) 구조가 안정성이 보장되는 코homological 조건은 무엇인가?
• RQ2 관련 평탄한 선다발까지 변형되는 경우 l.c.k 구조는 변형될 수 있으며, 그 장애는 무엇인가?
• RQ3 $L$-값을 갖는 형식에 대한 $\partial\overline{\partial}$-레미는 l.c.k 구조의 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 전역 켈러 퍼텐셜이 없는 $b_2 = 0$ 인 이노에 표면은 안정적인 l.c.k 구조를 갖는가?
• RQ5 $L$-값을 갖는 보트-체른 코homology 군은 비-케일러 표면에서 변형의 장애를 어떻게 탐지하는가?

주요 결과

• 쌍 $(X,L)$ 가 차수 $(0,2)$ 에서 $\partial\overline{\partial}$-레미를 만족하면, 복소 구조의 소규모 변형 하에서 l.c.k 구조의 안정성이 보장된다.
• 호프 다발과 그 일반화에서는 특정 평탄한 선다발에 대해 $\partial\overline{\partial}$-레미가 성립하여 l.c.k 구조의 안정성이 보장된다.
• 이노에 표면 $S_M$ 에서는 $H^3_{\eta}(S_M) \cong H^3(S_M, L)$ 에서 $[\eta \wedge \omega] \neq 0$ 이므로, 평탄한 선다발을 변형할 경우 부드러운 l.c.k 구조의 가족이 존재하지 않음을 증명한다.
• 이노에 표면 $S_{N,p,q,r}^{(-)}$ 에서는 $H^3_{\eta}(S^{(-)})$ 에서 $[\eta \wedge \omega]$ 가 0이 아니므로, 선다발 변형 하에서 부드러운 l.c.k 구조의 가족 존재가 차단된다.
• $H^3(X,L)$ 의 영함은 평탄한 선다발을 동시에 변형할 경우 부드러운 l.c.k 구조의 가족 존재를 위한 필수 조건이다.
• 이노에 표면에서 $b_2 = 0$ 인 경우에 대해 명시적인 코homological 장애를 계산하여, $\partial\overline{\partial}$-레미를 만족하더라도 선다발 변형 하에서 l.c.k 구조의 안정성이 보장되지 않음을 보여준다.